Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.4 Differenzieren 59
2.4.5 Zusammenhang mit der gewöhnlichen Vektoranalysis
Die Differentialoperatoren der gewöhnlichen Vektoranalysis lassen sich im Differentialformenkalkül
folgendermaßen koordinatenunabhängig ausdrücken.
grad f = ∇ f = (d f ) ♯
div X = ∇ · X = ⋆d ⋆ X ♭
rot X = ∇ × X = (⋆dX ♭ ) ♯
Dabei ist f eine Funktion und X ein Vektorfeld.
2.4.6 Lie-Klammer
(2.95)
(2.96)
(2.97)
Im Abschnitt 2.3.1 auf S. 46 haben wir Richtungsableitungen von Funktionen eingeführt und
diese als Vektoren bzw. Vektorfelder interpretiert. Die Richtungsableitung
X f = d f (X) = (∂ j f )X j
(2.98)
ist dabei wieder eine Funktion. Damit hat man die Möglichkeit, verschiedene Richtungsableitungen
hintereinander auszuführen, also Y ◦ X auf f wirken zu lassen. Wegen der gewöhnlichen
Produktregel lautet das Ergebnis in Komponenten
Y ◦ X f = � ∂k[(∂ j f )X j ] � Y k = (∂k∂ j f )X j Y k + (∂ j f )(∂kX j )Y k . (2.99)
Im ersten Term steht eine 2. Ableitung, so dass Y ◦ X offenbar keine Richtungsableitung mehr
ist, also aus der äußeren Algebra herausführt. Bildet man jedoch den Kommutator
[X,Y] := X ◦ Y − Y ◦ X, (2.100)
fällt der Term mit der zweiten Ableitung heraus; übrig bleiben Produkte von ersten Ableitungen:
[X,Y] f = (∂ j f )(∂kY j )X k − (∂ j f )(∂kX j )Y k �
= (∂ j f ) (∂kY j )X k − (∂kX j )Y k
� �� �
[X,Y] j
�
. (2.101)
Folglich ist der Kommutator zweier Vektorenfelder wieder ein Vektorfeld, bleibt also innerhalb
der äußeren Algebra. Dieser Kommutator wird als Lie-Klammer bezeichnet. Per Konstruktion
ist die Lie-Klammer bilinear und antisymmetrisch. Außerdem erfüllt sie unter zyklischer Vertauschung
die sogenannte Jacobi-Indentität
[X,[Y,Z]] + [Z,[X,Y]] + [Y,[Z,X]] = 0. (2.102)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie