Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

58 Differentialformen
lässt sich also dadurch berechnen, dass man die Koeffizienten als Funktionen (0-Form) interpretiert,
also dem ersten Faktor der Produktregel zuordnet, während der Basisvektor dx i1 ∧...∧ dx in
der zweite Faktor ist. Das Resultat lautet
dα = 1
�
p!
Wegen d f = (∂ j f )dx j erhält man
dαi1...ip
�
∧ dx i1 ∧ ... ∧ dx ip (2.93)
dα = 1 ∂αi1...ip
p! ∂x j dx j ∧ dx i1 ip ∧ ... ∧ dx . (2.94)
Wegen der Antisymmetrie tragen in dieser Summe nur Terme bei, für die j keinem der Indices
i1,...,ip gleich ist.
Beispiele:
1) Gegeben sei eine 1-Form α = αi dxi im R3 . Dann ist
dα = (∂ jαi) dx j ∧ dx i = 1
� �
∂ jαi − ∂iα j dx
2!
j ∧ dx i
= (∂1α2 − ∂2α1)dx 1 ∧ dx 2 + (∂1α3 − ∂3α1)dx 1 ∧ dx 3 + (∂2α3 − ∂3α2)dx 2 ∧ dx 3
2) Eine 2-Form γ = 1 2! γi j dx i ∧ dx j besitzt das Differential
dγ = 1
2 ∂kγi j dx k ∧ dx i ∧ dx j = 1
�
�
∂1γ23 + ∂2γ31 + ∂3γ12 dx
2
1 ∧ dx 2 ∧ dx 3
Die Koeffizienten kann man antisymmetrisieren:
(dγ)i jk = 1
2 (∂iγ jk − ∂iγk j + ∂kγi j − ∂kγ ji + ∂ jγki − ∂ jγik)
so dass dγ = 1 3! (dγ)i jk dx i ∧ dx j ∧ dx k ist. Übung: Zeigen Sie, dass d 2 γ = 0 ist.
2.4.4 Lemma von Poincaré
Wir beginnen diesen Abschnitt mit zwei wichtigen Definitionen:
• Eine Differentialform α heißt schließend, wenn die äußere Ableitung dα = 0 ist.
• Eine Differentialform α heißt exakt, wenn sie selbst die äußere Ableitung einer anderen
Differentialform β ist, d.h. α = dβ.
Wegen d 2 = 0 ist jede exakte Differentialform schließend. Die Gegenrichtung gilt nicht automatisch,
sondern ist Gegenstand des berühmten Lemmas von Poincaré. Vereinfacht ausgedrückt
sagt dieses Lemma folgendes aus:
In einer sternförmigen offenen Menge ist jede schließende Differentialform exakt,
d. h. für jede geschlossene p-Form α findet man eine p − 1-Form β, auch Potentialform
genannt, so dass α = dβ ist.
Bemerkung: Das kommt einem bekannt vor. Ein wirbelfreies Vektorfeld, also ein solches, auf das der
Rotationsoperator Null ergibt, lässt sich als Gradient eines Potentials schreiben. Das Poincaré’sche
Lemma drückt diesen Sachverhalt in ähnlicher Form für Differentialformen in beliebigen Dimensionen
aus.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie