Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.4 Differenzieren 57
wird als äußere Ableitung bezeichnet, weil sie innerhalb der äußeren Algebra definiert ist (zur
Definition von A siehe Abschnitt 2.3 auf S. 31). Auf das obige Beispiel bezogen ist
(dα)i j = ∂iα j − ∂ jαi
Die Antisymmetrisierung hat aber eine ungewohnte Konsequenz: Will man nämlich zweimal
differenzieren, erhält man
(d 2 α)i j = (ddα)i j = ∂i∂ jαk − ∂ j∂iαk + ∂ j∂kαi − ∂k∂ jαi + ∂k∂iα j − ∂i∂kα j = 0.
oder etwas allgemeiner:
d 2 = 0 (2.88)
In der äußeren Algebra gibt es also keine höheren Ableitungen, sondern nur die erste Ableitung.
Der formale Grund ist einfach nachzuvollziehen: Weil Ableitungsoperatoren miteinander
vertauschen, wäre d 2 eine symmetrische Konstruktion, d.h. die zwei neuen Eingänge von d 2 α
wären symmetrisch unter Vertauschung und würden bei Kontraktion mit einem antisymmetrischen
Tensor verschwinden.
2.4.2 Äußere Ableitung
Die äußere Ableitung (engl. exterior derivative) ist definiert als ein Operator d, der ein Feld
von p-Formen auf ein Feld von p + 1-Formen abbildet. Dieser Operator hat folgende formale
Eigenschaften:
(i) Der Operator d angewandt auf eine Funktion f (also auf ein Feld von 0-
Formen) ergibt das gewöhnliche in Gl. (2.71) definierte Differential d f .
(ii) Zweifache Anwendung von d ergibt stets Null, d.h. d 2 = 0.
(iii) Wirkt d auf ein Keilprodukt, so gilt die Produktregel
wobei pα der Rang der Form α ist.
d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1) pα α ∧ dβ , (2.89)
Da die äußere Ableitung den Rang erhöht, ist die Ableitung der Volumenform gleich Null:
2.4.3 Darstellung der äußeren Ableitung
dω = 0. (2.90)
Sei x1,...,xn ein Koordiantensystem und ∂i und dx j die Basisvektorfelder des Tangential- und
Kotangentialraums. Durch Anwendung der Produktregel und d 2 = 0 lässt sich sofort zeigen,
dass die äußere Ableitung der Basisvektoren von � p T ∗ p U verschwindet:
Die äußere Ableitung einer p-Form
d(dx i1 ∧ ... ∧ dx ip ) = 0. (2.91)
α = 1
p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.92)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie