Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

56 Differentialformen
2.4.1 Verallgemeinertes Differential
Wirkungsweise:
Im Abschnitt 2.3.2 auf S. 48 haben wir bereits gesehen, wie man Funktionen f : U → R differenziert.
Das Ergebnis ist ein Feld von 1-Formen, das sogenannte Differential d f . Das Differential
d fp am Punkt p ∈ U ist Element des Kotangentialraum T ∗ p U, den man sich als einen im Punkt p
angehefteten Vektorraum vorstellen kann. Wendet man die 1-Form d fp auf einen Richtungsvektor
an, liefert sie als Ergebnis die Änderung von f in linearer Näherung entlang dieser Richtung
(vgl. Gl. Abschnitt 2.79 auf S. 53):
d f (∂ j) = ∂ j f ⇒ d f = (∂ j f )dx j .
Wir wollen im folgenden nicht nur Funktionen, sondern Felder beliebiger p-Formen α differenzieren.
Das Ergebnis ist ein verallgemeinertes Differential ˜dα (die Schlange ist eine vorläufige
Notation, von der wir uns im folgenden Abschnitt wieder trennen werden). In Analogie zu d f
soll dieses Differential Auskunft darüber geben, wie sich das Feld der p-Formen α entlang einer
vorgegebenen Richtung ändert. Da α eine lineare Maschine ist, die p Vektoren auf eine Zahl abbildet,
muss ˜dα eine Maschine sein, die p Vektoren sowie einen weiteren Richtungsvektor, also
insgesamt p+1 Vektoren, auf eine Zahl abbildet. Weil das Differenzieren eine lineare Operation
ist, erwarten wir, dass ˜dα ein kovarianter Tensor vom Rang p + 1 ist.
Merke: Differenzieren erhöht den Rang eines Tensors um 1.
Einbettung in die äußere Algebra:
Wenn man die Ableitung im oben beschriebenen Sinne einführt und beispielsweise auf eine
1-Form α wirken lässt, würde der Tensor 2. Stufe ˜dα in einer gegebenen Basis die Darstellung
( ˜dα)i j = ∂iα j
annehmen. Wie man an diesem Beispiel leicht sehen kann, ist dieser Tensor nicht notwendigerweise
antisymmetrisch, d.h. er würde aus der äußeren Algebra, die sich auf antisymmetrische
Tensoren beschränkt, herausführen. Also scheint das Konzept der Ableitung auf den ersten Blick
nicht mit der äußeren Algebra vereinbar zu sein.
Bei genauerer Betrachtung lässt sich dieses Problem jedoch lösen. Jeder Tensor lässt sich
nämlich als Summe eines symmetrischen und eines antisymmetischen Bestandteils schreiben,
also z.B.
( ˜dα)i j = 1
2 (∂iα j + ∂ jαi) + 1
2 (∂iα j − ∂ jαi).
Wenn man nun aber Physik auf der Basis antisymmetrischer Tensoren macht, wird man irgendwann
messbare Größen, also Skalare, durch Kontraktion erzeugen müssen. Kontrahiert man
allerdings den obigen Tensor mit einem anderen antisymmetrischen Tensor, fällt der symmetrische
Anteil heraus, da ein symmetrischer Tensor kontrahiert mit einem antisymmetischen Tensor
stets Null ergibt. Was dieses Beispiel ohne jeden Anspruch auf mathematische Stringenz plausibel
macht, stellt sich als durchgängiges Prinzip heraus: Physikalische Theorien sind so gebaut,
dass der symmetrische Anteil einer Ableitung keinen Einfluss auf Skalare hat und damit nicht
messbar ist.
Man kann deshalb den symmetrischen Anteil auch einfach weglassen. Dies kann dadurch
erreicht werden, dass man immer nach dem Differenzieren das Ergebnis antisymmetrisiert. Eine
solche antisymmetrisierte Ableitung
d = A ( ˜d)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie