Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.4 Differenzieren 55
oder kurz x = r cosφ und y = r sinφ. In der kartesischen Basis mit den Basisvektoren ∂x,∂y ist das
metrische Tensorfeld auf ganz U konstant und hat die Form
� � � �
g(∂x,∂x) g(∂x,∂y) 1 0
(gi j) =
= .
g(∂y,∂x) g(∂y,∂y) 0 1
Die Basisvektoren in Polarkoordinaten sind
∂r = (∂rx)∂x + (∂ry)∂y = cosφ ∂x + sinφ ∂y
∂φ = (∂φ x)∂x + (∂φ y)∂y = −r sinφ ∂x + r cosφ ∂y
Der metrische Tensor dargestellt in Polarkoordinaten ist nun
(g ′ �
g(∂r,∂r)
i j ) =
g(∂φ ,∂r)
� �
g(∂r,∂φ ) 1
=
g(∂φ ,∂φ ) 0
0
r2 �
,
hängt also vom Ort (vom Radius) ab. In beiden Fällen sind die metrischen Tensoren diagonal, d.h. es
handelt sich um orthogonale Basissysteme. Polarkoordinaten sind anschaulich in Abb. 2.4 auf S. 52
dargestellt.
2.3.7 Entartete Differentialformen und Nullvektorfelder
Eine p-Form heisst α entartet, wenn es einen Vektor X �= 0 gibt, so dass
α(X,Y (1),...,Y (p−1)) = 0 ∀,Y (1),...,Y (p−1) (2.87)
ist, wenn es also einen Vektor gibt, der die Form verschwinden lässt unabhängig davon, was an
den anderen Eingängen anliegt. Ein solcher Vektor X wird auch als Nullvektor bezeichnet (nicht
zu verwechseln mit dem neutralen Element des Vektorraums). Wenn α ein Feld von p-Formen
ist, so heisst dieses Feld entartet, wenn es ein Vektorfeld X gibt, dass an jedem Punkt p ∈ U die
obige Eigenschaft hat. Ein solches Vektorfeld bezeichnet man als Nullvektorfeld.
Als Beispiel betrachten wir eine 2-Form α mit der Darstellung α(X,Y) = 1
2 αi jX i Y i . Offenbar
ist eine 2-Form genau dann entartet, wenn die ‘Matrix’ αi j einen Eigenvektor zum Eigenwert
Null besitzt. Da die Matrix reell und antisymmetrisch ist, besitzt sie ein rein imaginäres Spektrum
aus Paaren konjugiert komplexer Eigenwerte. Daraus ergibt sich sofort, dass eine 2-Form
in einem Vektorraum mit ungerader Dimension immer ein Nullvektorfeld besitzt.
Beweisskizze: Eine reelle Matrix besitzt entweder reelle oder Paare konjugiert komplexer Eigenwerte,
wie man leicht durch komplexe Konjugation der Eigenwertgleichung zeigen kann. Eine antisymmtri-
sche Matrix multipliziert mit i ist eine hermitesche Matrix, von der wir aus der Quantenmechanik
wissen, dass sie nur reelle Eigenwerte besitzt, also besitzt eine antisymmetrische Matrix ein rein
imaginäres Spektrum. Das Eigenwertspektrum einer reellen antisymmetrischen Matrix muss deshalb
entweder aus Nullen oder aus ±-Paaren von rein imaginären Eigenwerten bestehen. Daraus folgt, dass
in ungeraden Dimensionen mindestens einer der Eigenwerte gleich Null ist.
2.4 Differenzieren
In der Theorie der Differentialformen tritt die äußere Ableitung an die Stelle von Differentialoperatoren
wie Gradient, Divergenz und Rotation. Das Differenzieren wird hiermit auf eine allgemeinere
Grundlage gestellt und in den Formalismus der äußeren Algebra eingebunden.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie