Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

54 Differentialformen
TpU T ∗ p U
Objekt X = X i ∂i α = αi dx i
Basis ∂ ′
i
= (∂ ′
i x j )∂ j
Komponenten X i′ = (∂ jx i′ )X j α ′ i
dx i′ = (∂ jx i′ )dx j
= (∂ ′
i x j )α j
Tabelle 2.2: Zusammenfassung der Transformationsgesetze für Vektoren X und 1-Formen α zwischen verschiedenen
Koordinatensystemen. Tensoren höherer Ordnung transformieren sich analog in jedem Index.
nichts anderes als eine Basistransformation aus. Ein Vergleich mit der alten Notation e ′ i = ek ˜M k i
in Gl. (1.16) auf Seite 11 liefert
M i j = ∂xi′
, ˜M
∂x j
i j = ∂xi
. (2.83)
∂x j′
Die Transformationsmatrix ist also nichts anderes als die Jacobimatrix der verketteten Abbildung.
Folglich transformieren sich die Komponenten eines Tangentialvektors v = v i ∂i gemäß
v i → v i′ = ∂xi′
∂x j v j = (∂ jx i′ )v j . (2.84)
Hinweis: Bitte beachten Sie, dass sich nur Komponenten von Tangentialvektoren v i auf diese Weise
transformieren, nicht jedoch die Koordinaten x i selbst, d.h. x i′ �= ∂xi′
∂x j x j .
Ähnliche Beziehungen lassen sich für den Kotangentialraum finden. Ein Vergleich mit Gl. (1.46)
auf S. 18 liefert das Transformationsgesetz für die Basisdifferentiale
dx i = ∂xi j′
dx
∂x j′
bzw. dx i′ = ∂xi′ j
dx
∂x j
Bemerkung: Dieses Transformationsgesetz kennen Sie bereits als Kettenregel für infinitesimale Dif-
ferentiale. Die Notation ist in der Tat extra so gewählt worden, um dieses vertraute Erscheinungsbild
zu reproduzieren. Man sollte sich dennoch vergegenwärtigen, dass die Differentiale dx i linear unab-
hängige 1-Formen des Kotangentialraums T ∗ p U sind und nicht etwa Komponenten unendlich kleiner
Vektoren.
Die Komponenten einer 1-Form α = αi dx i transformieren sich dementsprechend durch
Beispiel:
αi → α ′ i = ∂xj
∂x i′ α j = (∂ ′
i x j )α j
Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten:
Sei U ⊂ R 2 ausgestattet mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt. Die einfachste Darstellung ist das
kartesische Koordinatensystem S : p → (x 1 ,x 2 ) = (x,y). Oft benutzt man aber auch Polarkoordinaten
S ′ : p → (x 1′ ,x 2′ ) = (r,φ). Die Transformationsgleichungen zwischen beiden Systemen lauten
S ◦ S ′−1 : (r,φ) → (x,y) = (r cosφ,r sinφ)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(2.85)
(2.86)