Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.3 Funktionen, Koordinatensysteme und Differentialformen 53
alte Notation neue Notation
∂i := ∂/∂x i
ei
e j dx j
X = X iei X = X i∂i A = 1
q! Ai1...iqei1 ∧ ... ∧ eiq A = 1
q! Ai1...iq∂i1 ∧ ... ∧ ∂iq
α = 1
p! α j1... jpe j1 ∧ ... ∧ e jp α = 1
p! α j1... jp dx j1 jp ∧ ... ∧ dx
Tabelle 2.1: Vergleich der bisherigen Notation mit der in der Differentialgeometrie üblichen Notation
Differentiale von Funktionen
Das Differential einer skalaren Funktion f ist eine 1-Form und wird deshalb durch d f = αi dx i
mit bestimmten Koeffizienten αi dargestellt. Um diese zu bestimmen, lässt man d f auf einen
Basisvektor ∂ j wirken. Zum einen erhält man wegen Gl. (2.71) die gewöhnlichen partiellen
Ableitungen d f (∂ j) = ∂ j f , zum anderen ist d f (∂ j) = αi dx i (∂ j)
� �� �
=δ i . Folglich ist α j = ∂ j f , d.h.
j
d f = (∂ j f )dx j . (2.79)
In der Koordinatendarstellung erhält man also das uns wohlbekannte totale Differential. Diese
formale Übereinstimmung ist mit ein Grund dafür, warum man die Basisvektoren nicht mehr
mit ei und e j , sondern mit ∂i und dx j bezeichnet.
2.3.6 Wechsel zwischen verschiedenen Koordinatensystemen
Für die Darstellung eines Raums U gibt es viele mögliche Koordinatensysteme. In der Relativitätstheorie
entspricht z.B. jedes Bezugssystem einem eigenständigen Koordinatensystem. Deshalb
steht man häufig vor der Aufgabe, Darstellungen in einem Koordinatensystem in Darstellungen
eines anderen Koordinatensystems zu transformieren.
Gegeben seien zwei Koordinatensystem S : p → x i (p) und S ′ : p → x i′ (p). Da beide Abbildungen
bijektiv sind, existieren die verketteten Abbildungen
Für eine skalare Funktion f auf U gilt dabei
oder kurz
S ′ ◦ S −1 : x i → x i′ (x 1 ,...,x n ) (2.80)
S ◦ S ′−1 : x i ′ → x i (x 1′ ,...,x n′ )
∂ f ∂xj′
=
∂xi ∂xi ∂ f
∂x j′
∂i = (∂ix j′ )∂ ′ j bzw. ∂ ′
i = (∂ ′
i x j )∂ j
(2.81)
(2.82)
wobei wir die Notation ∂i = ∂
∂xi und ∂ ′ ∂
j =
∂x j′ verwendet haben. Weil die partiellen Ableitungen
die Rolle von Basisvektoren im Tangentialraum spielen, drückt dieses Transformationsgesetz
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie