Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

52 Differentialformen
Abbildung 2.4: Koordinatenbasis: In jedem Punkt p ∈ U kann man sich einen Tangentialraum TpU ∼ = R 2 aufgehängt
vorstellen. Das Koordinatensystem zeichnet in diesem Raum eine besondere Basis in
Richtung der durch p laufenden Koordinatenlinien aus.
Koordinatenbasis von TpU : Partielle Ableitungen e j = ∂ j = ∂
∂x j
Duale Koordinatenbasis von T ∗ p U: Differentiale e i = dx i
2.3.5 Darstellung von Feldern in Koordinatensystemen
Vektoren und Tensoren lassen sich auf gewohnte Weise in der Koordinatenbasis darstellen, wobei
wir von nun anstatt ei und e j einfach ∂/∂x i und dx j schreiben. Die einzige wirkliche Neuerung
besteht darin, dass es sich nun um Vektorfelder bzw. Tensorfelder auf U handelt. Bezieht
man sich auf einen bestimmten Punkt p ∈ U und damit auf einen bestimmten Tangentialraum
TpU bzw. Kotangentialraum T ∗ p U, wird das durch ein tiefgestelltes p zum Ausdruck gebracht
(nicht zu verwechseln mit dem Rang einer p-Form). Will man dagegen die Gesamtheit aller
Tangentialräume betrachten, lässt man den Index p einfach weg. So bezeichnet f eine Funktion,
fp dagegen den Funktionswert an der Stelle p. Ebenso bezeichnet TU die Gesamtheit aller
Tangentialräume, TpU dagegen den Tangentialraum im Punkt p.
Vektorfelder und Differentialformfelder:
Ein Vektorfeld X : U → TU wird in einem Koordiantensystem durch
i ∂
X = X
∂xi = X i ∂i (2.76)
dargestellt. Auf ähnliche Weise besitzt ein q-Multivektorfeld T : U → ∧ q TU die Darstellung
T = 1
q! T i1...iq
∂i1 ∧ ... ∧ ∂iq . (2.77)
Analog dazu wird ein p-Form-Feld α : U → ∧T ∗ p U in einem Koordiantensystem durch
dargestellt.
α = 1
p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.78)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie