Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.3 Funktionen, Koordinatensysteme und Differentialformen 51
gegeben. Diese Netzlinien auf U können gekrümmt sein, wie das Beispiel der Polarkoordinaten
demonstriert, während sie in der Karte als parallele Geraden erscheinen.
2.3.4 Koordinatenbasis
Jede dieser Netzlinien c j ist eine Kurve auf U und repräsentiert damit eine Richtungsableitung Xj
im Punkt p. Da die Koordinatenabbildung bijektiv ist, sind die Richtungsableitungen X1,...,Xn
linear unabhängig und bilden damit eine (nicht notwendig orthonormale) Basis des Tangentialraums
TpU. Ein Koordinatensystem stellt also eine natürliche Basis zur Verfügung, in der
Vektoren (=Richtungsabsleitungen) und 1-Formen (=Differentiale) dargestellt werden können.
Diese Basis wird als Koordinatenbasis bezeichnet.
Bemerkung: Die Basis muss weder orthogonal noch normiert sein. Man beachte, dass jedem Punkt p
ein eigener Tangentialraum TpU und damit auch eine eigene Basis zugeordnet ist. Wie man von einem
Tagentialraum zu einem benachbarten gelangt, wird einer der wesentlichen Inhalte der Differential-
geometrie sein.
Wir könnten jetzt auf gewohnte Weise die Koordinatenbasis von TpU mit e1,...,en bezeichnen
und dann dazu eine duale Basis e1 ,...,e n konstruieren, so dass ei (e j) = δ i j ist. In der Differentialgeometrie
hat sich allerdings eine andere Notation durchgesetzt, die formal an die normalen
Rechenregeln der Vektoranalysis erinnern soll, aber für Neueinsteiger anfangs noch etwas gewöhnungsbedürftig
ist.
Basisvektoren des Tangentialraums:
Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass der Basisvektor e j als Richtungsableitung angewandt
auf eine beliebige Funktion f und in Koordinaten dargestellt gerade der partiellen Ableitung
entspricht:
e j f = ∂
∂x j f (p(x1,...,xn)). (2.73)
Man führt deshalb die formale Notation
e j = ∂ j = ∂
∂x j
(2.74)
ein. Damit erhält das Symbol ∂
∂x j eine Doppelleben: Streng genommen handelt es sich um einen
Basisvektor des Tangentialraums entlang der j-ten Koordinatenlinie, auf der zu diesen Koordinaten
gehörenden Karte wirkt ∂
∂x j jedoch wie die althergebrachte partielle Ableitung.
Basis-1-Formen des Kotangentialraums:
Auf ähnliche Weise geht man beim Kotangentialraum vor. Dessen Basisvektoren e1 ,...,e n müssen
sich als Differentiale ei = dξ i von Funktionen ξ i schreiben lassen. Außerden müssen sie die
Definitionseigenschaft ei (e j) = δ i j erfüllen, d.h. es muss ei (e j) = dξ i (e j) = ∂ jξ i = δ i j sein. Man
sieht sofort, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die Funktionen ξ i gerade die Koordinatenfunktionen
xi sind. Man benutzt deshalb die Notationen
e i = dx i
Diese Definition ist formal kompatibel mit der Rechenregel dx i ( ∂
∂x j ) = ∂
∂x j x i = δ i j .
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(2.75)