Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

50 Differentialformen
Abbildung 2.3: Ein Koordinatensystem S bildet die ‘Realität’ (links) bijektiv auf eine Karte (rechts) ab. Dazu
wird jedem Punkt p ∈ U ein Punkt x ∈ R 2 auf der Karte zugeordnet. Dieses Beispiel zeigt die
uns wohlbekannten Polarkoordinaten und veranschaulicht, wie ein ‘Haus vom Nikolaus’ auf der
Karte dargestellt wird. Jeder Punkt p ∈ U wird dabe eindeutig auf x 1 = r und x 2 = ϕ abgebildet.
Die Netzlinien erhält man, wenn man eine Koordinate variiert und die anderen festhält.
Merke: Übersicht Notationen:
f Funktion U− > R
fp Funktionswert am Punkt p
Xp Richtungsvektor im Punkt p
Xp f Ableitung von f in Richtung X im Punkt p
X Richtungsvektorfeld
X f Ableitung von f entlang des Richtungsvektorfeldes
d fp Differentialform von f im Punkt p, bildet Richtungsvektoren auf Zahlen ab
d fp(Xp) Änderung von f in linearer Näherung in Richtung X
d f Feld der Differentialformen von f auf U
dxp Differentialform von x im Punkt p, bildet Richtungsvektoren auf Zahlen ab
dx(X) Änderung der Koordinate x in linearer Näherung in Richtung X
dxp(Xp) Änderung der Koordinate x in linearer Näherung in Richtung X im Punkt p
2.3.3 Koordinatensysteme
Ein Koordiantensystem S ist ein Satz von n stetig differenzierbaren Funktionen x i :U → R, die jedem
Punkt p ∈ U auf eindeutige Weise Koordinaten x i (p) ∈ R zuordnen, wobei n wie immer die
Dimension des Raums ist. Wenn man die Koordinaten x i (p) zu einem Vektor x(p) ∈ R n zusammenfasst,
kann man ein Koordinatensystem auch als stetig differenzierbare Bijektion S : U → R n
interpretieren, also gewissermaßen als invertierbare Abbildung vom physikalischen Raum auf
eine Landkarte. Die dazu inverse Abbildung S −1 bezeichnen wir mit p(x) = p(x 1 ,...,x n ).
Abb. 2.3 zeigt die uns wohlbekannten Polarkoordinaten. In diesem Koordinatensystem wird
jedem Punkt p ∈ U ein Radius x 1 = r und ein Winkel x 2 = ϕ zugeordnet. Auf der entsprechenden
Karte sieht die ‘Realität’, z.B. das links gezeigte Haus vom Nikolaus, stark verzerrt aus.
Insbesondere scheinen die Kanten des Hauses gekrümmt zu sein.
Ein Koordinatensystem stellt man wie in Abb. 2.3 durch ein Netz von Linien dar. Diese Linien
erhält man, wenn man eine Koordinate variiert und die anderen dabei festhält. Ist p ∈U ein Punkt
und x(p) der entsprechende Punkt auf der Karte, dann sind diese Linien durch
c j(λ) = p(x 1 ,...,x j−1 , x j + λ ,x j+1 ,...,x n ) (2.72)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie