Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.3 Funktionen, Koordinatensysteme und Differentialformen 49
kompatibel ist. Die unterschiedliche Denkweise ist schematisch in der folgenden Abbildung
skizziert:
• Auf der linken Seite ist die traditionelle Denkweise dargestellt: Ausgangspunkt ist hier
eine Funktion f (x), also eine direkte Abbildung von einer Koordinate x auf einen Funktionswert.
Man stellt dann die Frage, wie sich f bei einer Änderung von x ändert. Für große
Änderungen kann dieser Zusammenhang nichtlinear sein, aber für infinitesimal kleine
Änderungen dx wird die infinitesimal kleine Änderung d f linear von dx abhängen.
• Die rechte Seite zeigt die Sichtweise der Differentialgeometrie: Ausgangspunkt ist hier
der abstrakte ‘physikalische’ Raum U. Auf diesem Raum sind zwei Funktionen definiert:
Eine Funktion f : U → R und eine Koordinatenfunktion x : U → R. Jedem Punkt p wird
damit ein Funktionswert fp und eine Koordinate xp zugeordnet. Um zu untersuchen, wie
sich diese Funktionen lokal ändern, bildet man von beiden die Richtungsableitung.
Wir lassen nun eine Richtungsableitung Xp auf diese beiden Funktionen wirken und definieren
d f (Xp) := Xp f dx(Xp) := Xpx (2.70)
Diese beiden Größen beschreiben, wie sich die Funktion f bzw. die Koordinate x in linearer
Näherung ändern, wenn man am Punkt p in Richtung Xp geht. Wie man sehen kann, sind die
Differentiale d f und dx hier keine infinitesimalen Größen mehr, sondern lineare Funktionen auf
Richtungsvektoren, d.h. lineare Abbildungen TpU → R. Sie sind demzufolge Elemente des zu
TpU dualen Vektorraums, des sogenannten Kotangentialraums T ∗ p U:
Differentiale sind 1-Formen des Kotangentialraums T ∗ p U.
Differentiale sind also lineare Abbildungen, die abstrakte Richtungsvektoren Xp ∈ TpU auf Zahlen
abbilden. Das Differential d f einer Funktion f ist durch d fp(Xp) = Xp f punktweise definiert.
Für die Gesamtheit aller Punkt schreibt man kurz
wobei X ein Vektorfeld und d f ein Feld von 1-Formen ist.
d f (X) = X f (2.71)
Bemerkung: Aus der neuen Perspektive ist die Schulbuchmathematik eine Vereinfachung, die darin
besteht, dass man den Umweg über U und TpU weglässt und stattdessen direkt die verkettete
Abbildung f ◦ x −1 : R → R : x ↦→ f (x) := f (p(x)) untersucht (senkrechter Pfeil in der Abbildung).
Allerdings steht dann der Tangentialraum nicht zur Verfügung und damit hat man im Prinzip keine
Möglichkeit, eine Richtung anzugeben. Dieses Problem umgeht man, indem man Richtungen durch
die Komponenten unendlich kleiner Vektoren, sogenannter infinitesimale Differentiale dx, repräsentiert.
Dies ist der Preis, den man zahlen muss, wenn man auf die Definition eines Tangentialraums
verzichten möchte.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie