Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

48 Differentialformen
Tangentialraum TpU bezeichnet wird. Für den hier betrachteten Fall U ⊂ Rn ist das offensichtlich,
weil jeder Kurve durch p ein Geschwindigkeitsvektor v = d
dλ c(λ)| λ=0 zugeordnet werden
kann, – der Addition oder Skalarmultiplikation von Richtungsableitungen entspricht also die
Addition und Skalarmultiplikation solcher Geschwindigkeitsvektoren. Wie wir sehen werden,
wird das Konzept des Tangentialraums auch für gekrümmte Mannigfaltigkeiten funktionieren, –
auch dort ist nämlich der Tangentialraum ein linearer Vektorraum.
Wichtig ist zunächst, dass wir uns an eine neue Sichtweise gewöhnen, die in der Differentialgeometrie
üblich ist:
Die Vektoren des Tangentialraums TpU sind Richtungsableitungen.
Bemerkung: Vektoren sind Ableitungen – das ist für Neueinsteiger nicht leicht zu akzeptieren. Wir
müssen uns jedoch daran gewöhnen, dass Vektoren nicht mehr Distanzen zwischen Punkten angeben.
Ein Vektor ist lediglich eine Richtungsangabe kombiniert mit einer Zahl (Betrag des Vektors). Das
einzige, was man mit solch einem Vektor machen kann, ist die Bildung einer Richtungsableitung, also
zu fragen, wie sich z.B. eine Koordinate oder eine Funktion ändert, wenn man in die entsprechende
Richtung geht. Deshalb darf man den Vektor ohne Bedenken mit der ihm zugeordneten Richungs-
ableitung identifizieren.
Vektorfelder:
Eine Richtungsableitung Xp ∈ TpU ist definiert in einem bestimmten Punkt p. In der Regel ist
die Richtungsableitung nicht nur in einem einzigen Punkt, sondern auf ganz U erklärt. In diesem
Fall spricht man von einem Vektorfeld, das mit X bezeichnet wird. Lässt man dieses Vektorfeld
auf eine Funktion f wirken, erhält man eine neue Funktion X f mit X f |p = Xp f .
Gemäß der neuen Sichtweise wirkt ein Vektorfeld X auf Funktionen, indem es an jedem Punkt
die entsprechende Richtungsableitung durchführt. Das Vektorfeld X ist also ein linear Operator
X(λ f + µg) = λX f + µXg ( f ,g Funktionen; λ,µ ∈ R) (2.68)
der auf Produkte von Funktionen die Leibniz-Regel (Produktregel) erfüllt:
2.3.2 Differentiale
Die Ableitung einer skalaren Funktion f im Punkt
x0 ist bekanntlich eine lineare Approximation der
Funktion in der Umgebung von x0: Wenn man sich
ein kleines Stück in Richtung dx bewegt, ändert
sich die Funktion in linearer Näherung um d f =
f ′ (x0)dx. Dabei sind d f und dx infinitesimale Differentiale.
In höherdimensionalen Räumen ergibt sich
d f = ∇ f · dx, wobei ∇ f der Gradient von f ist.
X( f g) = f Xg + gX f . (2.69)
Unendlich kleine Vektoren – von dieser eigenartigen jedoch über die Jahre liebgewonnenen
Vorstellung infinitesimaler Größen werden wir uns nun verabschieden müssen. An ihre Stelle
tritt eine Interpretation, die mit den oben eingeführten abstrakten Richtungsvektoren X ∈ TpU
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie