Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.3 Funktionen, Koordinatensysteme und Differentialformen 47
definieren. Diese Definition macht aber expliziten Gebrauch von der Vektorraumstruktur von U,
indem sie einen Punkt u um das Stück µv verschiebt. Nach den oben formulierten Spielregeln
wollen wir aber davon möglichst keinen Gebrauch machen. Wir suchen deshalb eine alternative
Möglichkeit zur Definition einer Richtungsableitung.
Kurven:
Einen möglichen Ausweg bieten parametrisierte Kurven, d.h. Abbildungen c : R → U, die einem
Parameter λ ∈ (a,b) ⊂ R einen Punkt c(λ) ∈ U zuordnen. Auch von dieser Abbildung wollen
wir annehmen, dass sie zusammenhängend und stetig differenzierbar ist, was anschaulich bedeutet,
dass die Kurve aus einem Stück besteht und glatt ist, also keine Ecken hat.
Um eine Richtungsableitung im Punkt p ∈ U zu definieren, betrachten wir nun eine Kurve c,
die durch p läuft (siehe Abb. 2.2), wobei die Parametrisierung so gewählt ist, dass c(0) = p
ist. Die verkettete Abbildung f ◦ c ist dann eine Abbildung R → R, die auf ganz gewöhnliche
Weise ohne Gebrauch von Vektoren differenziert werden kann. Wir benutzen also eine Kurve
statt eines Vektors, um eine Richtung anzugeben und die entsprechende Richtungsableitung zu
definieren:
∇c fp := d
dλ
�
�
f (c(λ)) �
� λ=0
(2.64)
Richtungsableitung:
Die so definierte Richtungsableitung ∇c hängt offenbar nur davon ab, in welcher Richtung und
mit welcher Geschwindigkeit bezüglich ihres Parameters die Kurve c den Punkt p durchquert,
nicht dagegen von der Form und Geschwindigkeit der Kurve außerhalb von p. Zwei Kurven sind
also in diesem Sinne äquivalent im Punkt p, wenn sie für alle Funktionen jeweils die gleiche
Richtungsableitung ergeben:
c ∼ p c ′
⇔ ∇c fp = ∇c ′ fp ∀ f . (2.65)
Eine Richtungsableitung in p ist also eine Äquivalenzklasse von Kurven [c]p, die wir im Vorgriff
auf die Differentialgeometrie mit Großbuchstaben Xp bezeichnen wollen:
Xp := [c]p . (2.66)
Wendet man diese Richtungsableitung auf eine Funktion an, so erhält man
�
, (2.67)
Xp f = ∇c fp�
c∈Xp
wobei die Kurve c ein beliebiger Repräsentant von Xp ist.
Tangentialraum:
Man kann zeigen, dass die Richtungsableitungen Xp einen linearen Vektorraum bilden, der als
Abbildung 2.2: Eine glatte Kurve c : R → U, die durch den Punkt p läuft, ermöglicht die Definition einer Richtungsableitung
∇c fp der Funktion f : U → R im Punkt p entlang dieser Kurve (siehe Text).
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie