Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

46 Differentialformen
symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix ausdrücken kann. Es gibt dementsprechend
zwei Projektoren
P ± = 1
(� ± ⋆) (2.60)
2
mit P + + P− = � und der Komponentendarstellung
wobei
P ± kl
i j
= 1
2 (I
kl
i j ± ε kl
i j , (2.61)
kl
Ii
j = 1 k
(δi δ
2 l j − δ k j δ l
i ) (2.62)
die antisymmetrisierte identische Abbildung im Raum � 2 (R 4 ∗ ) ist.
2.3 Funktionen, Koordinatensysteme und Differentialformen
Bisher haben wir uns mit der Struktur von Vektorräumen und den darauf definierten Linearformen
befasst. Sowohl in der nichtrelativistischen Physik als auch in der speziellen Relativitätstheorie
lassen sich Raum und Zeit per se als Vektorräume auffassen, d.h. die Punkte der Raumzeit
werden durch Orts- bzw. Vierervektoren charakterisiert. Doch spätestens in der allgemeinen
Relativitätstheorie, in der Raum und Zeit zu einem gekrümmten dynamischen Objekt werden,
versagt dieses Konzept. Die Raumzeit wird dann zu einer sogenannten Mannigfaltikeit – einer
Menge von Punkte, die global keine Vektorraumstruktur besitzt, sodass die Punkte auf dieser
Mannigfaltigkeit nicht mehr durch Vektoren beschrieben werden können. Lokal sieht die Raumzeit
allerdings immer noch wie ein ebener Vektorraum aus, ähnlich wie die Meeresoberfläche auf
sehr kleinen Distanzen stets wie ein R 2 aussieht. Vektoren können deshalb verwendet werden,
um Richtungen anzugeben.
In diesem Kapitel werden wir uns zwar noch nicht mit gekrümmten Mannigfaltigkeiten, sondern
vorerst noch weiterhin mit flachen Räumen befassen, genauer gesagt mit offenen zusammenhängenden
Teilmengen U ⊂ R n . Um aber den Übergang zu gekrümmten Mannigfaltigkeiten
zu erleichtern, wollen wir von der Vektorraumstruktur in U möglichst keinen Gebrauch machen.
Konkret bedeutet das, dass wir die Punkte p ∈ U nach Möglichkeit nicht als Vektoren auffassen
wollen, sie also nicht wie Vektoren addieren, subtrahieren, oder skalar multiplizieren.
2.3.1 Skalare Funktionen, Kurven und Richtungsableitung
Skalare Funktion:
Eine skalare Funktion ist eine Abbildung f : U → R, die jedem Punkt p ∈ U eine Zahl fp
zuordnet. Wir wollen im folgenden immer voraussetzen, dass f in einem noch zu präzisierenden
Sinne stetig differenzierbar ist. Die Abbildung f darf aber durchaus nichtlinear sein.
Herkömmliche Richtungsableitung:
Da U im allgemeinen mehrdimensional ist, ist die Änderung einer Funktion von der gewählten
Richtung abhängig. Normalerweise würde man dazu im R n die Richtungsableitung der Funktion
f im Punkt u ∈ U in Richtung v durch
f (u + µv) − f (u)
∇v f (u) = lim
µ→0 µ
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(2.63)