Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.2 Hodge-Dualität 45
2.2.9 Selbstdualität
Eine Form α heisst selbstdual bezüglich der Hodge-Operation falls
⋆α ∝ α , (2.56)
wenn also die Form eine Art Eigenvektor von ⋆ ist. Selbstduale Formen haben ein hohes Maß
an Symmetrie. Obwohl wir hier Selbstdualität nur der Vollständigkeit halber einführen wollen,
sei darauf hingewiesen, dass es eine selbstduale Formulierung der ART gibt, die sich in der
aktuellen Forschung immer mehr durchsetzt.
Da der Hodge-Operator p-Formen auf n − p-Formen abbildet, müssen selbstduale Formen
zwangläufig den Grad p = n/2 haben, wobei n die Dimension des Basisvektorraums ist. Selbstduale
Formen können also nur in Vektorräumen mit geradzahliger Dimension existieren. Damit
reduziert sich Gl. (2.51) zu
⋆ ⋆ α = sα , (2.57)
wobei s = sgn(det{gi j}) ist. Man unterscheidet also folgende Fälle
Riemann (s = 1) Lorentz (s = −1)
selbstdual ⋆α = α ⋆α = iα
antiselbstdual ⋆α = −α ⋆α = −iα
Die niedrigste Dimension, in der Selbstdualität auftreten könnte, ist n = 2, doch kann man leicht
zeigen (Übung), dass selbstduale 1-Formen im R 2 nicht existieren, da die entsprechenden Gleichungen
keine solchen Lösungen besizten. Interessant ist die Selbstdualität also erst in vierdimensionalen
Räumen. Als Beispiel betrachten wir den euklidischen R 4 . Das Hodge-Duale einer
2-Form α ist hier in Komponenten durch
[⋆α]i j = 1
2 εi jklα kl = 1
2 εi jklη km η ln αnm
(2.58)
gegeben. Fasst man die Komponenten der antisymmetrischen 2-Form α als 6-komponentigen
Vektor auf, kann die ⋆-Operation eine lineare Abbildung in Form einer 6×6-Matrix interpretiert
werden. Als Eigenwerte findet man (−1,−1,−1,1,1,1). Im R 4 gibt es also drei selbstduale und
drei antiselbstduale Formen.
Rechnung: Nachprüfen mit Mathematica R○
map={{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}}
M=Table[Signature[Join[map[[i]],map[[j]]]],{i,1,6},{j,1,6}]
M//Eigenvalues
Diese sechs 2-Formen haben die Gestalt
e 1 ∧ e 2 ± e 3 ∧ e 4 , e 1 ∧ e 3 ± e 2 ∧ e 4 , e 1 ∧ e 4 ± e 2 ∧ e 3 . (2.59)
Da die zweite äußere Potenz � 2 (R 4 ∗ ) , d.h. der Raum aller 2-Formen auf dem R 4 ebenfalls
sechsdimensional ist, sieht man sofort, dass diese sechs 2-Formen den gesamten Raum aller
2-Formen aufspannen. Demzufolge ist es möglich, jede 2-Form als Summe eines selbstdualen
und eines antiselbstdualen Anteil auszudrücken, ähnlich wie man jede Matrix als Summe einer
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie