Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

44 Differentialformen
2.2.7 Eigenschaften des Hodge-Stern-Operators ⋆
Das Hodge-Duale zu einem Skalar ist die Volumenform
⋆1 = ω . (2.49)
In manchen Büchern wird deshalb die Volumenform nicht mit ω sondern mit ⋆1 bezeichnet.
Umgekehrt ist das Hodge-Duale der Volumenform gegeben durch
⋆ω = ι ω ♯ω = s
n! (e1 ∧ ... ∧ e n )(e1 ∧ ··· ∧ en) = s = ±1. (2.50)
Durch Auswertung von Gl. (2.48) kann man zeigen, dass
⋆ ⋆ α = s(−1) p(n−p) α ⇒ ⋆ 2 = ⋆⋆ = ±1 (2.51)
ist, d.h. der ⋆-Operator ist bis auf ein Vorzeichen eine Involution.
Wie bereits bei der Einführung der Hodge-Dualität gezeigt wurde, ist die Hodge-Abbildung
eng mit dem verallgemeinerten Skalarprodukt verbunden. Man kann z.B. Gl. (2.38) in der Form
α ∧ ⋆β = g ∗ (α,β)ω (2.52)
schreiben, wobei α und β zwei beliebige p-Formen sind. Umgekehrt kann man das verallgemeinerte
Skalarprodukt auch mit Hilfe von ∧ und ⋆ ausdrücken durch
g ∗ (α,β) = s ⋆ (α ∧ ⋆β) (2.53)
2.2.8 Hodge-Stern-Operator in orthonormalen Basen
Wie bereits zuvor hervorgehoben, bezieht sich die Hodge-Dualität auf eine gegebene Metrik g,
man findet deshalb in einigen Büchern auch die Notation ⋆g. Die Abhängigkeit von der Metrik
ist z.B. daran zu erkennen, dass die Determinante von g in den Formeln explizit auftritt. Aus
diesem Grund werden die Rechenregeln für das ⋆-Produkt besonders einfach, wenn man in einer
orthonormalen Basis arbeitet. In diesem Fall wird nämlich das Hodge-Duale einer p-Form mit
Hilfe der komplementären Basisformen gebildet. So ist z.B.
⋆(e 1 ∧ ... ∧ e p ) = e p+1 ∧ ... ∧ e n . ({e i } orthonormal) (2.54)
Wenn die linke Seite nicht aus den ersten p, sondern aus einer beliebigen Folge von p Basisvektoren
besteht, gilt
⋆(e i1 ∧ ... ∧ e ip ) = ±e ip+1 ∧ ... ∧ e in , ({e i } orthonormal) (2.55)
wobei sich das Vorzeichen danach richtet, ob (i1,...,in) eine gerade oder ungerade Permutation
von 1,...,n ist.
Beispiele:
• Im R 2 mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt g = diag(1,1) und orthonormaler Standardbasis
gilt
⋆1 = e 1 ∧ e 2 ; ⋆e 1 = e 2 ; ⋆e 2 = −e 1 ; ⋆(e 1 ∧ e 2 ) = 1
• Im R 3 mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt g = diag(1,1,1) und orthonormaler Standardbasis
gilt
⋆1 = e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ; ⋆e 1 = e 2 ∧ e 3 ; ⋆e 2 = −e 1 ∧ e 3 ; ⋆e 3 = e 1 ∧ e 2
⋆(e 1 ∧ e 2 ) = e 3 ; ⋆(e 1 ∧ e 3 ) = −e 2 ; ⋆(e 2 ∧ e 3 ) = e 1 ; ⋆(e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) = 1
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie