Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.2 Hodge-Dualität 43
2.2.5 Hodge-Stern-Operator ⋆
Um die Hodge-Dualität zu formalisieren, führt man einen speziellen Operator ⋆ ein, der eine
p-Form auf eine n − p-Form abbildet. Dieser sogenannte Hodge-Stern-Operator ist definiert als
Abbildung ⋆ : � p (V ∗ ) → � n−p(V ∗ ) : α ↦→ ⋆α mit
⋆α := ι α ♯ω (2.43)
wobei ω die oben eingeführt Volumenform ist. Der Hodge-⋆-Operator ist also eine lineare Operation.
Da sowohl der musikalische Isomorphismus ♯ als auch die Volumenform vom metrischen
Tensor abhängen, bezieht sich der Hodge-Stern-Operator per Definition immer auf eine
bestimmte Metrik.
Beweis: In der Nomenklatur des vorangegangenen Abschnitts ist ⋆α = s|detg|γ. Unter Ausnutzung
der Beziehung (2.33) erhält man
g ∗ (β,γ)ω = g∗ (β,ι α ♯ω)ω
s|detg|
d.h. die Definition ist kompatibel mit Gl (2.38).
= g∗ (α ∧ β,ω)ω
s|detg|
2.2.6 Darstellung des Hodge-Stern-Operators ⋆
In einer gegebenen Basis {ei} wird die p-Form α durch
dargestellt. Den dazu dualen Vektor
= α ∧ β g∗ (ω,ω)
s|detg|
= α ∧ β
α = 1
p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ e ip (2.44)
α ♯ = 1
p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ eip
(2.45)
erhält man durch das Heben der Indices von α. Folglich ist
⋆α = ι α ♯ω =
Die n − p-Form ⋆α hat also die Komponenten
1 �
|g|εi1...in
p!(n − p)!
αi1...ip ip+1 in e ∧ ... ∧ e . (2.46)
[⋆α]ip+1...in
1 �
= |g|εi1...in
p!
αi1...ip (2.47)
Man kann auf diese Weise beispielsweise die Komponenten von ⋆ ⋆ α
[⋆ ⋆ α]in−p+1...in =
|g|
p!(n − p)! εi1...in gi1 jp+1 ···g in−p jn ε j1... jn g j1k1 ···g jpkp αk1...kp
berechnen, woraus mit etwas Geduld folgt, dass ⋆ ⋆ α = ±α ist.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(2.48)