Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

42 Differentialformen
Bemerkung: Sie kennen dieses Lemma vielleicht schon als Satz von Riesz aus der Quantenmechanik:
Für jedes lineare Funktional F[ψ] auf einer Wellenfunktion ψ existiert eine andere Wellenfunktion φ,
so dass F[ψ] = 〈φ|ψ〉 ist.
Dieser Satz gilt in jedem Vektorraum und wir wenden ihn nun auf ∧ p V ∗ mit dem dazugehörigen
verallgemeinerten Skalarprodukt an. Sei α eine fest gewählte p-Form und β eine beliebige n −
p-Form. Folglich ist α ∧ β eine n-Form. Da der Raum ∧ n V ∗ eindimensional ist, muss α ∧ β
proportional zur Volumenform sein (siehe 2.1.7), d.h.
α ∧ β = fα(β)ω , (2.37)
wobei fα eine lineare Funktion ist. Laut Lemma existiert dann eine eindeutige n − p-Form γ, so
dass fα(β) = g ∗ (β,γ), also
α ∧ β = g ∗ (β,γ)ω ∀β (2.38)
Jeder p-Form α wird damit auf eindeutige Weise eine n − p-Form γ zugeordnet. In der Tat sind
die Dimensionen der entsprechenden Vektorräume
dim �� p (V ∗ ) � =
� �
n
, dim
p
�� � �
n−p � ∗ n
(V ) = , (2.39)
n − p
identisch, da die Binomialkoeffizienten invariant unter der Ersetzung p ↔ n − p sind.
Beispiel: Um diese Konstruktion zu verstehen, betrachten wir den R 3 mit kartesischen Koordinaten.
Gegeben sei eine 1-Form α und eine 2-Form β mit den Darstellungen
Dann ist
α = α1e 1 + α2e 2 + α3e 3
(2.40)
β = β12(e 1 ∧ e 2 ) + β13(e 1 ∧ e 3 ) + β23(e 2 ∧ e 3 ). (2.41)
α ∧ β = α1β23 (e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) + α2β13 (e 2 ∧ e 1 ∧ e 3 ) + α3β12 (e 3 ∧ e 1 ∧ e 2 =
) (2.42)
� �
α1β23 − α2β13 + α3β12 e
� �� �
= fα (β)
1 ∧ e 2 ∧ e 3 .
Laut Lemma existiert eine 2-Form γ = γ12(e1 ∧ e2 ) + γ13(e1 ∧ e3 ) + γ23(e2 ∧ e3 ) so dass g∗ 2 (γ,β) =
fα(β) ist. Das verallgemeinerte Skalarprodukt auf 2-Formen ist z.B. gegeben durch
g ∗ 2 (e1 ∧ e 2 ,e 1 ∧ e 2 �
�
) = �
� g∗ (e1 ,e1 ) g∗ (e1 ,e2 )
g∗ (e2 ,e1 ) g∗ (e2 ,e2 �
�
�
) � =
� �
�
�1
0�
�
�0 1�
= 1
und analog durch g ∗ 2 (ei ∧ e j ,e k ∧ e l ) = δ ik δ jl für i �= j. Wir erhalten deshalb
g ∗ 2 (γ,β) = fα(β) = γ12β12 + γ13β13 + γ23β23
Durch Koeffizientenvergleich erhält man γ12 = α1 ,γ13 = −α2 und γ23 = α3, womit die antisymmetrische
2-Form γ vollständig bestimmt ist.
Bemerkung: Aus der Elektrodynamik wissen Sie, dass es in vielen Fällen praktisch ist, ein orientiertes
Flächenelement (∼ 2-Form) durch einen Vektor (∼ 1-Form) auszudrücken, der darauf senkrecht
steht und dessen Betrag dem Flächeninhalt entspricht. Der Hodge-Dualität vermittelt zwischen diesen
beiden gleichwertigen Beschreibungsweisen, verallgemeinert auf beliebige p-Formen in n Dimensionen.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie