Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

Inhaltsverzeichnis
2.5 Integration von Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.1 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.2 Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.3 Integrale über p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.4 Theorem von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Tensorwertige Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Spezielle Relativitätstheorie 65
3.1 Nichtrelativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Raum und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.3 Symplektischer Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.4 Vorsymplektische Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.5 Raumzeitliche Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.6 Beispiel: Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Spezielle Relativitätstheorie – Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.1 Postulate der speziellen Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.2 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.3 Minkowskiraum und Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.4 Lorentz-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.2 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.3 Relativistisches freies Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Differentialgeometrie 85
4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.1 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.2 Karten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.3 Kartenwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.4 Funktionen auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.5 Tangentialraum und Kotangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Paralleltransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 Transport geometrischer Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.2 Paralleltransport von Tangentialvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.3 Ableitung von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.4 Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.5 Darstellung des Zusammenhangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.6 Darstellung des Zusammenhangs in der Koordinatenbasis . . . . . . . 97
4.2.7 Kovariantes Transformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.8 Geodätische Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.9 Berechnung des Zusammenhangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.10 Kovariante Ableitung beliebiger Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.11 Äußere Ableitung tensorieller Formen * . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.1 Riemannscher Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.2 Darstellung des Riemannschen Krümmungstensor . . . . . . . . . . . 105
4.3.3 Symmetrien des Krümmungstensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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