Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.2 Hodge-Dualität 41
Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass sich die Hintereinanderausführung von Kontraktionen
(angewandt auf antisymmetrische Tensoren) formal wie ein Keilprodukt verhält. Mit
Hilfe des verallgemeinerten Skalarprodukts lässt sich zeigen, dass beide Verknüpfungen tatsächlich
dual zueinander sind. Sei dazu α eine 1-Form, β eine p-Form und γ eine p + 1-Form. Dann
ist
g ∗ (α ∧ β,γ) = g ∗ (β,ι α ♯γ) (2.33)
Beachten Sie, dass auf der linken Seite das Skalarprodukt zweier p + 1-Formen, auf der rechten
Seite dagegen das Skalarprodukt zweier p-Formen steht.
Beweisskizze: Um uns davon zu überzeugen, betrachten wir den Fall p = 1 und nehmen an, dass
γ = η ∧ ρ faktorisierbar ist. Dann ist die linke Seite
g ∗ (α ∧ β,η ∧ ρ) = g ∗ (α,η)g ∗ (β,ρ) − g ∗ (α,ρ)g ∗ (β,η) = α i ηiβ j ρ j − α i ρiβ j η j
Wegen ι α ♯(η ∧ ρ) = [α ♯ (η)]ρ − [α ♯ (ρ)]η ergibt sich für die rechte Seite
g ∗ (β,ι α ♯(η ∧ ρ)) = [α ♯ (η)]g ∗ (β,ρ) − [α ♯ (ρ)]g ∗ (β,η) = α i ηiβ j ρ j − α i ρiβ j η j
Beide Seiten sind also gleich.
2.2.3 Darstellung des verallgemeinerten Skalarprodukts
Seien
α = 1
p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ e ip , β = 1
p! β j1... jp e j1 ∧ ... ∧ e jp , (2.34)
zwei p-Formen. Dann ist laut Gl. (2.32) das verallgemeinerte Skalarprodukt gegeben durch
g ∗ (α,β) =
=
=
1
(p!) 2 αi1...ip β j1... jp g∗ (e i1 ip j1 jp ∧ ... ∧ e , e ∧ ... ∧ e )
� �� �
=detkl(g∗ (eik ,e jl ))
1
(p!) 2 αi1...ip β j1... jp εk1...kp
p
∏ g
r=1
ir jkr
1
(p!) 2 α jk ... jkr
1
1 β j1... jp εk1...kp =
p! α j1... jp β j1... jp = ια♯β 2.2.4 Hodge-Dualität auf der Basis des verallgemeinerten Skalarprodukts
(2.35)
Hinter der Tatsache, dass ιX ◦ ιY = −ιY ◦ ιX ist, dass also Kontraktionen hintereinander ausgeführt
formal wie ein Keilprodukt funktionieren, steht eine besondere Symmetrie der äußeren
Algebra, die Hodge-Dualität genannt wird. Um die Hodge-Dualität, die nicht mit der ‘normalen’
Dualität V ↔ V ∗ verwechselt werden darf, zu verstehen, brauchen wir zuerst einen Hilfssatz:
Lemma: Sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt g und f : V → R eine
gegebene lineare Funktion. Dann existiert ein eindeutiges u ∈ V so dass
f (v) = g(v,u) ∀v ∈ V (2.36)
Beweis: In einer Orthonormalbasis ist f (ei) = g(ei,u) = gi ju j . Von links multipliziert man die inverse
Matrix g ki und erhält so u k = g ki f (ei), also u = g ki f (ei)e j.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie