Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

40 Differentialformen
Um das Hodge-Duale einer p-Form zu bilden, werden
deren Eingänge mit einer Volumenform ω kontrahiert.
Da die Volumenform ihrerseits n Eingänge besitzt, sind
noch n − p Kanäle frei, die als Eingänge von ⋆α aufgefasst
werden. Die Abbildung illustriert die Bildung
des Hodge-Dualen einer 3-Form im R 4 , wodurch eine
1-Form ⋆α entsteht. Die kurzgeschlossenen Verbindungen
zwischen α und ω sind dabei so zu vestehen, dass
hier eine Spurbildung stattfindet.
2.2.2 Verallgemeinertes Skalarprodukt auf p-Formen
Auf dem Raum der (antisymmetrischen) p-Formen � p (V ∗ ) kann man ein Skalarprodukt
g ∗ p : � p (V ∗ ) × � p(V ∗ ) → R
folgendermaßen definieren: Seien α = α (1) ∧ ... ∧ α (p) und β = β (1) ∧ ... ∧ β (p) zwei faktorisierbare
p-Formen. Dann ist
g ∗ p(α,β) := εi1i2...ip
p
∏
j=1
g ∗ (α ( j) β (i j) ) = det � g ∗ (α (i) ,β ( j) )}. (2.32)
Auf der rechten Seite steht die Determinante der aus den Zahlen g ∗ (α (i) ,β ( j) ) gebildeten p × p-
Matrix. Man kann beweisen, dass das so definierte Produkt die Definitionseigenschaften eines
Skalarprodukts erfüllt. Auch für nicht-faktorisierbare p-Formen ist das Skalarprodukt definiert,
weil sich solche Formen immer als endliche Linearkombination faktorisierbarer Formen schreiben
und mit Hilfe der Bilinearität auf die obige Form zurückführen lassen. In der Literatur wird
das kleingestellte p von g ∗ p, oft auch der Stern weggelassen, weil der Rang der Argumente eindeutig
festlegt, welches Skalarprodukt an dieser Stelle zu verwenden ist.
Mit Hilfe des induzierten Skalarprodukts wird es beispielsweise möglich, die Norm einer
p-Form ||α|| = � |g ∗ (α,α)| zu definieren oder zu sagen, wann zwei p-Formen “senkrecht”
aufeinander stehen. Eine anschauliche Deutung ist nicht einfach. Immerhin erhält man für p = 1
das normale Skalarprodukt g ∗ auf V ∗ .
Beispiele:
• Als Beispiel betrachten wir den R3 mit dem gewöhnlichen kartesischen Skalarprodukt. Die 2-
Formen e1 ∧ e2 und e1 ∧ e3 können als Stangen in z- bzw. y-Richtung interpretiert werden. Das
Skalarprodukt dieser beiden 2-Formen ist
g ∗ (e 1 ∧ e 2 ,e 1 ∧ e 3 �
�
) = �
� g∗ (e1 ,e1 ) g∗ (e1 ,e3 )
g∗ (e2 ,e1 ) g∗ (e2 ,e3 �
�
�
) � =
�
�
�
� g11 g13 g21 g23 �
�
�
� =
� �
�
�1
0�
�
�0 0�
= 0,
d.h. die beiden 2-Formen stehen tatsächlich “senkrecht” aufeinander.
• Die durch das obige Skalarprodukt induzierte Norm der Volumenform im R3 ist
||ω|| = � g∗ �
(ω,ω) = |detg| g∗ (e1 ∧ e2 ∧ e3 , e1 ∧ e2 ∧ e3 �
�
�g
) = �
�
�
11 g12 g13 g21 g22 g23 g31 g32 g33 �
�
�
�
� = 1.
�
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie