Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.2 Hodge-Dualität 39
Man kann zeigen, dass die Kontraktion eines Vektors X ∈ V mit dem Keilprodukt zweier p-
Formen α,β mit Rängen pα, p β durch
ιX(α ∧ β) = (ιXα) ∧ β + (−1) pα α ∧ (ιXβ) (2.27)
gegeben ist. Die Kontraktion verhält sich also formal wie eine vorzeichenbehaftete Produktregel.
Interessant ist die Hintereinanderausführung verschiedener Kontraktion. Hier findet man
ιX ◦ ιY = −ιY ◦ ιX . (2.28)
Insbesondere ist ιX ◦ ιX = 0. Die Hintereinanderausführung von Kontraktionen angewandt auf
antisymmetrische Tensoren verhält sich also formal in ähnlicher Weise wie das Keilprodukt.
Beweisskizze: ιX ◦ ιX lässt sich interpretieren als ιX⊗X. Da X ⊗ X aber ein symmetrischer Tensor
ist, ergibt die Kontraktion mit einem antisymmetrischen Tensor stets Null. Ebenso können sich die
Tensoren X ⊗ Y und Y ⊗ X, jeweils kontrahiert mit dem selben antisymmetrischen Tensor, nur durch
ein Vorzeichen voneinander unterscheiden.
2.1.10 Darstellung der Kontraktion ι
In einer gegebenen Basis {ei} kann Gl. (2.26) in Komponenten dargestellt werden durch
also
ιAα =
1
q!(p − q)! αi1...ip Ai1...iq e iq+1 ∧ ... ∧ e ip (2.29)
[ιAα]iq+1...ip
= 1
q! αi1...ip Ai1...iq . (2.30)
Hier sieht man, dass sich ιAα von der gewöhnlichen Kontraktion um den Faktor 1
q! unterscheidet.
2.2 Hodge-Dualität
2.2.1 Anschauliche Beschreibung der Hodge-Dualität
Die Hodge-Dualität (engl. Hodge-dual) ist jedem von uns bereits indirekt
in Form des sogenannten Kreuzprodukts begegnet. Anstatt nämlich
ein Flächenelement durch zwei aufspannende Vektoren a und b zu charakterisieren,
kann man es mit Hilfe des Kreuzprodukts auf elegante
Weise durch einen senkrecht darauf stehenden Vektor c = a × b darstellen.
Es sind also nicht 6, sondern nur 3 Komponenten zur Beschreibung
der Orientierung und Größe eines Flächenelements erforderlich.
Die Hodge-Dualität beruht darauf, dass die äußeren Potenzen � p (V ∗ ) und � n−p(V ∗ ), also die
linearen Räume der p-Formen und der n − p-Formen, wegen Gl. 2.11) die gleiche Dimension
besitzen, d.h.
dim �� p (V ∗ ) � =
� � � �
n n
= = dim
p n − p
��n−p � ∗
(V )
(2.31)
wobei n = dimV ∗ die Dimension des Basisvektorraums ist. Die Hodge-Dualität ist eine lineare
invertierbare Transformation zwischen diesen Räumen und wird mit dem Symbol ⋆ notiert.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie