Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
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38 Differentialformen 2.1.8 Darstellung der Volumenform Die Volumenform kann man schreiben als ω = ω die Komponenten √ |g| n! εi1...in ei1 ∧ ... ∧ e in , also besitzt der Tensor ωi1...in = � |g|εi1...in . (2.24) Der entsprechende duale Tensor kann geschrieben werden als ω♯ = 1 √ ε |g|n! i1...in ei1 ∧ ... ∧ ein , wobei εi1...in = sεi1...in ist. Folglich ist 2.1.9 Kontraktion ι ω i1...in = 1 �|g| ε i1...in . (2.25) Die Kontraktion antisymmetrischer Tensoren wird im Prinzip in gleicher Weise wie für allgemeine Tensoren durchgeführt. Allerdings ergeben sich bei antisymmtrischen Tensoren zwei Besonderheiten: - Es gibt keine gemischten antisymmetrischen Tensoren, es können also nur q-Multivektoren mit p-Formen kontrahiert werden. - Wegen der Antisymmetrisierung spielt es (bis auf Vorzeichen) keine Rolle, über welche Tensorkomponenten kontrahiert wird, denn die Bildung aller Permutationen stellt sicher, dass jede Tensorkomponente am Kontraktionsprozess teilnimmt. - Die gewöhnliche Kontraktion, wie sie in Abschnitt 1.5.9 auf S. 22 eingeführt wurde, liefert bei der Kontraktion kombinatorische Faktoren, z.B. ist C 1...n 1...n (ω♯ ⊗ ω) = sn!. Aus diesen Gründen hat es sich bewährt, für die äußere Algebra einen eigenständigen Kontraktionsoperator einzuführen, der von der Notation besser angepasst ist und der die auftretenden kombinatorischen Faktoren automatisch kompensiert. Dieser Operator wird mit dem griechischen Buchstaben Iota (ι) bezeichnet und kontrahiert einen q-Multivektor A mit einer p-Form α, wobei vorausgesetzt wird, dass q ≤ p ist: ιAα := 1 1...q C1...q (A ⊗ α) (2.26) q! Merke: Der Iota-Operator kontrahiert q-Multivektoren mit p-Formen, wobei q ≤ p ist. Er unterschei- det sich von der gewöhnlichen Kontraktion um einen kombinatorischen Faktor 1/q!, wobei q die Anzahl der Indices ist, über die summiert wird. Beispiele: • Volumenform mit sich selbst: ιω♯ω = 1 n! C 1...n 1...n (ω♯ ⊗ ω) = 1 n! √ |g| √ i1...inεi1...in ε = s = ±1 |g| • Vektor X mit faktorisierbarer 2-Form: ιX(α ∧ β) = ιX(α ⊗ β − β ⊗ α) = (ιXα)β − α(ιXβ) • Vektor X mit fakt. 3-Form: ιX(α ∧ β ∧ γ) = (ιXα)(β ∧ γ) − (ιXβ)(α ∧ γ) + (ιXγ)(α ∧ β) Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
2.2 Hodge-Dualität 39 Man kann zeigen, dass die Kontraktion eines Vektors X ∈ V mit dem Keilprodukt zweier p- Formen α,β mit Rängen pα, p β durch ιX(α ∧ β) = (ιXα) ∧ β + (−1) pα α ∧ (ιXβ) (2.27) gegeben ist. Die Kontraktion verhält sich also formal wie eine vorzeichenbehaftete Produktregel. Interessant ist die Hintereinanderausführung verschiedener Kontraktion. Hier findet man ιX ◦ ιY = −ιY ◦ ιX . (2.28) Insbesondere ist ιX ◦ ιX = 0. Die Hintereinanderausführung von Kontraktionen angewandt auf antisymmetrische Tensoren verhält sich also formal in ähnlicher Weise wie das Keilprodukt. Beweisskizze: ιX ◦ ιX lässt sich interpretieren als ιX⊗X. Da X ⊗ X aber ein symmetrischer Tensor ist, ergibt die Kontraktion mit einem antisymmetrischen Tensor stets Null. Ebenso können sich die Tensoren X ⊗ Y und Y ⊗ X, jeweils kontrahiert mit dem selben antisymmetrischen Tensor, nur durch ein Vorzeichen voneinander unterscheiden. 2.1.10 Darstellung der Kontraktion ι In einer gegebenen Basis {ei} kann Gl. (2.26) in Komponenten dargestellt werden durch also ιAα = 1 q!(p − q)! αi1...ip Ai1...iq e iq+1 ∧ ... ∧ e ip (2.29) [ιAα]iq+1...ip = 1 q! αi1...ip Ai1...iq . (2.30) Hier sieht man, dass sich ιAα von der gewöhnlichen Kontraktion um den Faktor 1 q! unterscheidet. 2.2 Hodge-Dualität 2.2.1 Anschauliche Beschreibung der Hodge-Dualität Die Hodge-Dualität (engl. Hodge-dual) ist jedem von uns bereits indirekt in Form des sogenannten Kreuzprodukts begegnet. Anstatt nämlich ein Flächenelement durch zwei aufspannende Vektoren a und b zu charakterisieren, kann man es mit Hilfe des Kreuzprodukts auf elegante Weise durch einen senkrecht darauf stehenden Vektor c = a × b darstellen. Es sind also nicht 6, sondern nur 3 Komponenten zur Beschreibung der Orientierung und Größe eines Flächenelements erforderlich. Die Hodge-Dualität beruht darauf, dass die äußeren Potenzen � p (V ∗ ) und � n−p(V ∗ ), also die linearen Räume der p-Formen und der n − p-Formen, wegen Gl. 2.11) die gleiche Dimension besitzen, d.h. dim �� p (V ∗ ) � = � � � � n n = = dim p n − p ��n−p � ∗ (V ) (2.31) wobei n = dimV ∗ die Dimension des Basisvektorraums ist. Die Hodge-Dualität ist eine lineare invertierbare Transformation zwischen diesen Räumen und wird mit dem Symbol ⋆ notiert. Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
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38 Differentialformen<br />
2.1.8 Darstellung der Volumenform<br />
Die Volumenform kann man schreiben als ω =<br />
ω die Komponenten<br />
√ |g|<br />
n! εi1...in ei1 ∧ ... ∧ e in , also besitzt der Tensor<br />
ωi1...in = � |g|εi1...in . (2.24)<br />
Der entsprechende duale Tensor kann geschrieben werden als ω♯ = 1 √ ε<br />
|g|n! i1...in ei1 ∧ ... ∧ ein ,<br />
wobei εi1...in = sεi1...in ist. Folglich ist<br />
2.1.9 Kontraktion ι<br />
ω i1...in = 1<br />
�|g| ε i1...in . (2.25)<br />
Die Kontraktion antisymmetrischer Tensoren wird im Prinzip in gleicher Weise wie <strong>für</strong> allgemeine<br />
Tensoren durchgeführt. Allerdings ergeben sich bei antisymmtrischen Tensoren zwei<br />
Besonderheiten:<br />
- Es gibt keine gemischten antisymmetrischen Tensoren, es können also nur q-Multivektoren<br />
mit p-Formen kontrahiert werden.<br />
- Wegen der Antisymmetrisierung spielt es (bis auf Vorzeichen) keine Rolle, über welche<br />
Tensorkomponenten kontrahiert wird, denn die Bildung aller Permutationen stellt sicher,<br />
dass jede Tensorkomponente am Kontraktionsprozess teilnimmt.<br />
- Die gewöhnliche Kontraktion, wie sie in Abschnitt 1.5.9 auf S. 22 eingeführt wurde, liefert<br />
bei der Kontraktion kombinatorische Faktoren, z.B. ist C 1...n<br />
1...n (ω♯ ⊗ ω) = sn!.<br />
Aus diesen Gründen hat es sich bewährt, <strong>für</strong> die äußere Algebra einen eigenständigen Kontraktionsoperator<br />
einzuführen, der von der Notation besser angepasst ist <strong>und</strong> der die auftretenden<br />
kombinatorischen Faktoren automatisch kompensiert. Dieser Operator wird mit dem griechischen<br />
Buchstaben Iota (ι) bezeichnet <strong>und</strong> kontrahiert einen q-Multivektor A mit einer p-Form<br />
α, wobei vorausgesetzt wird, dass q ≤ p ist:<br />
ιAα := 1 1...q<br />
C1...q (A ⊗ α) (2.26)<br />
q!<br />
Merke: Der Iota-Operator kontrahiert q-Multivektoren mit p-Formen, wobei q ≤ p ist. Er unterschei-<br />
det sich von der gewöhnlichen Kontraktion um einen kombinatorischen Faktor 1/q!, wobei q die<br />
Anzahl der Indices ist, über die summiert wird.<br />
Beispiele:<br />
• Volumenform mit sich selbst: ιω♯ω = 1 n! C 1...n<br />
1...n (ω♯ ⊗ ω) = 1 n!<br />
√<br />
|g|<br />
√ i1...inεi1...in ε = s = ±1<br />
|g|<br />
• Vektor X mit faktorisierbarer 2-Form: ιX(α ∧ β) = ιX(α ⊗ β − β ⊗ α) = (ιXα)β − α(ιXβ)<br />
• Vektor X mit fakt. 3-Form: ιX(α ∧ β ∧ γ) = (ιXα)(β ∧ γ) − (ιXβ)(α ∧ γ) + (ιXγ)(α ∧ β)<br />
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