Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.1 Äußere Algebra 37
In der gestrichenen Basis des Dualraums e ′ j = M i j e j (siehe Abschnitt 1.46 auf S. 18) ist
Ω ′ = e ′1 ∧ e ′2 ∧ ... ∧ e ′n
= M 1 i1 M2 i2 ···Mn in ei1 ∧ e i2 ∧ ... ∧ e in (2.19)
= M 1 i1 M2 i2 ···Mn in sεi1...in e 1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e n = det(M) Ω (2.20)
d.h. die Determinante von M ist der gesuchte Faktor, um den sich Ω bei Basistransformationen
ändert.
Um die Basisabhängigkeit in der obigen Definition (2.14) zu beseitigen, ist es notwendig,
Ω mit einem reziproken Korrekturfaktor zu multiplizieren, so dass sich det(M) herauskürzt.
Hier bietet sich der metrische Tensor an, dessen Determinante sich auf ganz ähnliche Weise
transformiert (siehe Abschnitt 1.90 auf S. 29), allerdings erscheint die Determinante von M
quadriert im Nenner:
Wir definieren deshalb die n-Form
g → g ′ =
g
. (2.21)
det(M) 2
ω := � |g| e 1 ∧ ... ∧ e n . (2.22)
Diese Definition ist invariant unter Basistransformationen, ist also in allen Basen gültig und
damit darstellungsabhängig. Die Betragsstriche unter der Wurzel sind notwendig, da g bei nichteuklidischen
Geometrien wie in der Relativitätstheorie negativ werden kann. 1
Die Linearform ω = � |g|e 1 ∧ ... ∧ e n bezeichnet man als Volumenform. Wendet man nämlich
ω auf n Vektoren, so erhält man das orientierte (d.h. vorzeichenbehaftete) Volumen des
n-dimensionalen Parallelepipeds, den diese Vektoren aufspannen.
Beweisskizze: Um das plausibel zu machen, betrachten wir einen von
drei Vektoren a,b,c aufgespannten Parallelepiped im R3 (siehe Abbildung).
Wegen der Invarianz von ω spielt die Wahl der Basis keine Rolle,
so dass wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die orthonormale
Standardbasis benutzen dürfen. In dieser Basis ist
ω(a,b,c) = a i b j c k ω(ei,ej.ek) = a i b j c k � �
�
�a1
b1 c1�
�
εi jk = �
�a2
b2 c2
�
�
�a3
b3 c3
�
das aus den drei Vektoren gebildete Spatprodukt, das bekanntlich gleich
dem orientierten Volumen des Parallelepipeds ist. Das Vorzeichen ergibt
sich dabei nach der ‘rechte-Hand-Regel’.
Manchmal benötigt man auch den zu ω dualen kontravarianten Tensor ω ♯ , also den total antisymmetrischen
n-Multivektor, den man durch Heben aller Tensorkomponenten erhält. Ein analoges
Vorgehen wie oben führt hier zu
ω ♯ = s
� |g| e1 ∧ ... ∧ en , (2.23)
wobei s wie oben das Vorzeichen der Determinante der Metrik ist.
1 Die Volumenform ω wird in der Literatur auch häufig mit ε bezeichnet, was aber in Konflikt mit den Levi-Civitá-
Symbolen geraten kann. Eine andere Notation ist, wie wir sehen werden, ⋆1, siehe Kap. 2.2.5.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie