Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
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36 Differentialformen Eine faktorisierende 3-Form wird gebildeted aus drei 1-Formen, die jeweils als gestaffelte Ebenen mit unterschiedlicher Orientierung interpetierbar sind. Diese Ebenen unterteilen den Raum ist eckige Zellen. Bei dieser Interpretation ist zu beachten, dass die Diskretisierung in Ebenen, Stangen und Kugeln nur zur Anschauung dient und in Wirklichkeit kontinuierlicher Natur ist. Wichtig ist auch, dass man sich alle geometrischen Elemente orientiert vorstellen muss, z.B. haben die Stangen einen Drehsinn, der festlegt, ob sie beim Durchdringen des Flächenelements positiv oder negativ gezählt werden. Eine sehr ausführliche Diskussion der geometrischen Interpretation von p-Formen findet man in dem klassischen Buch von Misner, Thorne und Wheeler [7]. 2.1.7 Volumenform ω In einem n-dimensionalen Vektorraum spielt die antisymmetrische kovariante n-Form Ω := e 1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e n (2.14) eine besondere Rolle, denn sie hat einerseits den höchstmöglichen Rang, andererseits gibt es bis auf Umskalierung nur eine einzige n-Form dieser Art, da ihr Vektorraum � n V ∗ wegen (2.11) eindimensional ist. Da sich die obige Definition auf eine bestimmte Basis bezieht, ist Ω darstellungsabhängig und deshalb nicht als abstrakte n-Form einsetzbar. Da es aber bis auf Umskalierung nur eine einzige n-Form gibt, kann sich Ω unter einer Basistransformation höchstens um einen Faktor ändern. Um diesen zu berechnen, untersuchen wir zunächst, wie sich Ω unter einem Basiswechsel transformiert. Dazu definieren wir die antisymmetrischen Levi-Civitá-Symbole mit unteren Indices εi1...in = ⎧ ⎪⎨ 1 wenn {i1 ...in} eine gerade Permutation von 1...n ist −1 wenn {i1 ...in} eine ungerade Permutation von 1...n ist (2.15) ⎪⎩ 0 andernfalls (wenn mindestens ein Index doppelt auftritt. Mit Hilfe dieser Symbole kann man bekanntlich die Determinante einer quadratischen Matrix Ai j schreiben als det(A) = ∑ εi1...in i1...in A1i1 ...An in . (2.16) Die Levi-Civitá-Symbole mit oberen Indices sind definiert als wobei ε i1...in = sεi1...in , (2.17) s = sgn � det(g) � = ±1 (2.18) das Vorzeichen der Determinanten von g ist, also das Produkt aller Vorzeichen der Signatur. Man kann zeigen, dass s eine Invariante unter Basistransformationen, also eine darstellungsunabhängige Größe ist. Im euklidischen R 3 ist s = 1, in der vierdimensionalen Relativitätstheorie dagegen ist s = −1. Der Grund für diese Definition wird in Kürze klar. Bemerkung: WICHTIG: εi1...in und εi1...in sind im allgemeinen keine Tensoren, denn ein Tensor ändert seine Komponenten unter Basistransformationen und kann deshalb keine konstanten Kompo- nenten besitzen. Deshalb bezeichnet man die εi1...in als Symbole. Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
2.1 Äußere Algebra 37 In der gestrichenen Basis des Dualraums e ′ j = M i j e j (siehe Abschnitt 1.46 auf S. 18) ist Ω ′ = e ′1 ∧ e ′2 ∧ ... ∧ e ′n = M 1 i1 M2 i2 ···Mn in ei1 ∧ e i2 ∧ ... ∧ e in (2.19) = M 1 i1 M2 i2 ···Mn in sεi1...in e 1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e n = det(M) Ω (2.20) d.h. die Determinante von M ist der gesuchte Faktor, um den sich Ω bei Basistransformationen ändert. Um die Basisabhängigkeit in der obigen Definition (2.14) zu beseitigen, ist es notwendig, Ω mit einem reziproken Korrekturfaktor zu multiplizieren, so dass sich det(M) herauskürzt. Hier bietet sich der metrische Tensor an, dessen Determinante sich auf ganz ähnliche Weise transformiert (siehe Abschnitt 1.90 auf S. 29), allerdings erscheint die Determinante von M quadriert im Nenner: Wir definieren deshalb die n-Form g → g ′ = g . (2.21) det(M) 2 ω := � |g| e 1 ∧ ... ∧ e n . (2.22) Diese Definition ist invariant unter Basistransformationen, ist also in allen Basen gültig und damit darstellungsabhängig. Die Betragsstriche unter der Wurzel sind notwendig, da g bei nichteuklidischen Geometrien wie in der Relativitätstheorie negativ werden kann. 1 Die Linearform ω = � |g|e 1 ∧ ... ∧ e n bezeichnet man als Volumenform. Wendet man nämlich ω auf n Vektoren, so erhält man das orientierte (d.h. vorzeichenbehaftete) Volumen des n-dimensionalen Parallelepipeds, den diese Vektoren aufspannen. Beweisskizze: Um das plausibel zu machen, betrachten wir einen von drei Vektoren a,b,c aufgespannten Parallelepiped im R3 (siehe Abbildung). Wegen der Invarianz von ω spielt die Wahl der Basis keine Rolle, so dass wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die orthonormale Standardbasis benutzen dürfen. In dieser Basis ist ω(a,b,c) = a i b j c k ω(ei,ej.ek) = a i b j c k � � � �a1 b1 c1� � εi jk = � �a2 b2 c2 � � �a3 b3 c3 � das aus den drei Vektoren gebildete Spatprodukt, das bekanntlich gleich dem orientierten Volumen des Parallelepipeds ist. Das Vorzeichen ergibt sich dabei nach der ‘rechte-Hand-Regel’. Manchmal benötigt man auch den zu ω dualen kontravarianten Tensor ω ♯ , also den total antisymmetrischen n-Multivektor, den man durch Heben aller Tensorkomponenten erhält. Ein analoges Vorgehen wie oben führt hier zu ω ♯ = s � |g| e1 ∧ ... ∧ en , (2.23) wobei s wie oben das Vorzeichen der Determinante der Metrik ist. 1 Die Volumenform ω wird in der Literatur auch häufig mit ε bezeichnet, was aber in Konflikt mit den Levi-Civitá- Symbolen geraten kann. Eine andere Notation ist, wie wir sehen werden, ⋆1, siehe Kap. 2.2.5. Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
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36 Differentialformen<br />
Eine faktorisierende 3-Form wird gebildeted aus drei 1-Formen, die jeweils als gestaffelte<br />
Ebenen mit unterschiedlicher Orientierung interpetierbar sind. Diese Ebenen unterteilen den<br />
Raum ist eckige Zellen.<br />
Bei dieser Interpretation ist zu beachten, dass die Diskretisierung in Ebenen, Stangen <strong>und</strong> Kugeln<br />
nur zur Anschauung dient <strong>und</strong> in Wirklichkeit kontinuierlicher Natur ist. Wichtig ist auch,<br />
dass man sich alle geometrischen Elemente orientiert vorstellen muss, z.B. haben die Stangen<br />
einen Drehsinn, der festlegt, ob sie beim Durchdringen des Flächenelements positiv oder negativ<br />
gezählt werden. Eine sehr ausführliche Diskussion der geometrischen Interpretation von<br />
p-Formen findet man in dem klassischen Buch von Misner, Thorne <strong>und</strong> Wheeler [7].<br />
2.1.7 Volumenform ω<br />
In einem n-dimensionalen Vektorraum spielt die antisymmetrische kovariante n-Form<br />
Ω := e 1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e n<br />
(2.14)<br />
eine besondere Rolle, denn sie hat einerseits den höchstmöglichen Rang, andererseits gibt es bis<br />
auf Umskalierung nur eine einzige n-Form dieser Art, da ihr Vektorraum � n V ∗ wegen (2.11)<br />
eindimensional ist.<br />
Da sich die obige Definition auf eine bestimmte Basis bezieht, ist Ω darstellungsabhängig<br />
<strong>und</strong> deshalb nicht als abstrakte n-Form einsetzbar. Da es aber bis auf Umskalierung nur eine<br />
einzige n-Form gibt, kann sich Ω unter einer Basistransformation höchstens um einen Faktor<br />
ändern. Um diesen zu berechnen, untersuchen wir zunächst, wie sich Ω unter einem Basiswechsel<br />
transformiert. Dazu definieren wir die antisymmetrischen Levi-Civitá-Symbole mit unteren<br />
Indices<br />
εi1...in =<br />
⎧<br />
⎪⎨ 1 wenn {i1 ...in} eine gerade Permutation von 1...n ist<br />
−1 wenn {i1 ...in} eine ungerade Permutation von 1...n ist (2.15)<br />
⎪⎩<br />
0 andernfalls (wenn mindestens ein Index doppelt auftritt.<br />
Mit Hilfe dieser Symbole kann man bekanntlich die Determinante einer quadratischen Matrix<br />
Ai j schreiben als<br />
det(A) = ∑ εi1...in<br />
i1...in<br />
A1i1 ...An in . (2.16)<br />
Die Levi-Civitá-Symbole mit oberen Indices sind definiert als<br />
wobei<br />
ε i1...in = sεi1...in , (2.17)<br />
s = sgn � det(g) � = ±1 (2.18)<br />
das Vorzeichen der Determinanten von g ist, also das Produkt aller Vorzeichen der Signatur.<br />
Man kann zeigen, dass s eine Invariante unter Basistransformationen, also eine darstellungsunabhängige<br />
Größe ist. Im euklidischen R 3 ist s = 1, in der vierdimensionalen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
dagegen ist s = −1. Der Gr<strong>und</strong> <strong>für</strong> diese Definition wird in Kürze klar.<br />
Bemerkung: WICHTIG: εi1...in <strong>und</strong> εi1...in sind im allgemeinen keine Tensoren, denn ein Tensor<br />
ändert seine Komponenten unter Basistransformationen <strong>und</strong> kann deshalb keine konstanten Kompo-<br />
nenten besitzen. Deshalb bezeichnet man die εi1...in als Symbole.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
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