Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

34 Differentialformen
kann. Folglich ist p ≤ n und der Raum der p-Formen besitzt die Dimension
dim ��p � ∗ n!
(V ) =
p!(n − p)! =
� �
n
. (2.11)
p
Beispiel: Auf dem R 3 gibt es drei linear unabhängige Basis-1-Formen e 1 ,e 2 ,e 3 , drei daraus gebildete
2-Formen e 1 ∧e 2 , e 1 ∧e 3 , e 2 ∧e 3 , sowie eine 3-Form e 1 ∧e 2 ∧e 3 , die proportional zur Volumenform
ist (siehe unten).
Im Gegensatz zur gewöhnlichen Tensoralgebra ⊗, die es erlaubt, Tensoren beliebig hohen Ranges
(also mit beliebig vielen Indices) zu erzeugen, schließt die äußere Algebra, d.h. es gibt nur
endlich viele (nämlich 2 n ) linear unabhängige antisymmetrische Tensoren, deren Rang kleiner
oder gleich der Dimension des zugrunde liegenden Vektorraums ist.
2.1.5 Darstellung von p-Formen
Im Abschnitt 1.5.5 auf S. 20 haben wir gesehen, dass sich in einer gegebenen Basis ein Tensor
T vom Rang (q, p) mit den Komponenten T j1... jq
i1...ip = T(e j1,...,e jq ; ei1 ,...,eip ) durch
T = T j1... jq
i1...ip e j1 ⊗ ... ⊗ e jq ⊗ ei1 ⊗ ... ⊗ eip darstellen lässt. Auf damit kompatible Weise lässt
sich eine p-Form α, also ein kovarianter antisymmetrischer Tensor p-ter Stufe, mit den Komponenten
= α(ei1 ,...,eip ) (2.12)
darstellen als
αi1...ip
α = 1
p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ e ip . (2.13)
Der einzige formale Unterschied besteht in dem Vorfaktor 1
p! , mit dem die durch die Antisymmetrisierung
hervorgerufene Doppelzählung kompensiert wird.
Beispiele:
• α ∧ β:
Für zwei 1-Formen α = αie i und β = βie i ist α ∧ β = αiβ je i ∧ e j . Das konkrete Ergebnis ist
stark von der Dimension des Basisvektorraums abhängig. In einer Dimension ist α ∧ β = 0,
in zwei Dimensionen ist α ∧ β = (α1β2 − α2β1)(e 1 ∧ e 2 ), während in drei Dimensionen drei
Terme mit einer kreuzproduktähnlichen Struktur entstehen:
α ∧ β = (α1β2 − α2β1)(e 1 ∧ e 2 ) + (α1β3 − α3β1)(e 1 ∧ e 3 ) + (α2β3 − α3β2)(e 2 ∧ e 3 )
• α ∧ β ∧ γ:
Das dreifache Keilprodukt verschwindet in einer und zwei Dimensionen. In drei Dimensionen
erhält man α ∧ β ∧ γ = αiβ jγk e i ∧ e j ∧ e k = αiβ jγk ε i jk e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 , also
α ∧ β ∧ γ = (α1β2γ3 − α1β3γ2 + α3β1γ2 − α3β2γ1 + α2β3γ1 − α3β2γ1) e 1 ∧ e 2 ∧ e 3
• (α ∧ β)(u ∧ v):
Wendet man die (antisymmetrische) 2-Form α ∧β auf den (antisymmetrischen) 2-Vektor u∧v
an, so erhält man
(α ∧ β)(u ∧ v) = αiβ ju k v l (e i ∧ e j )(ek ∧ el)
= αiβ ju k v l (e i ⊗ e j − e j ⊗ e i )(ek ⊗ el − el ⊗ ek)
= αiβ ju k v l i j i j ji ji
(δkl − δlk − δkl + δlk ) = (αiβ j − βiα j)(u i v j − v i u j )
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie