Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.1 Äußere Algebra 33
2.1.3 p-Formen
Im Gegensatz zum gewöhnlichen Tensorprodukt, mit dem völlig unterschiedliche Vektorräume
verknüpft werden können, kann das Keilprodukt nur äußere Potenzen eines gemeinsamen Basisvektorraum
V miteinander verknüpfen. Daraus folgt, dass die mit diesem Produkt gebildeten
Tensoren entweder vollständig kontravariant oder vollständig kovariant sein müssen. Kovariante
antisymmetrische Tensoren vom Rang p werden als p-Formen bezeichnet und werden in der
Relativitätstheorie eine zentrale Rolle spielen.
Das Keilprodukt ist auf p-Formen in analoger Weise definiert und sei hier noch einmal in
Kurzform zusammengefasst:
Antisymmetrie: α ∧ β = α ⊗ β − β ⊗ α
Assoziativität: (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ)
Vollständige Antisymmetrisierung: α1 ∧ ... ∧ αn = A [α1 ⊗ ... ⊗ αn]
Linkslinearität: (λα + µβ) ∧ γ = λα ∧ γ + µβ ∧ γ
Rechtslinearität: α ∧ (λβ + µγ) = λα ∧ β + µα ∧ γ
Vertauschung: α ∧ β = (−1) pα p β β ∧ α
Obwohl das Keilprodukt auf ∧V und ∧V ∗ in völlig symmetrischer Weise wirkt, ist in der Differentialgeometrie
üblich, das Keilprodukt vorzugsweise auf p-Formen wirken zu lassen.
2.1.4 Äußere Algebra
Die Menge der faktorisierbaren p-Formen unter Hinzunahme aller Linearkombinationen bildet
einen Vektorraum, der als äußere Potenz von V ∗ bezeichnet wird und für den die Notation
�p(V ∗ �
) verwendet wird. Dabei ist
0(V ∗ �
) = K = R und
1(V ∗ ) = V ∗ . Das Keilprodukt bildet
also �n (V ∗ �
) und
m(V ∗ �
) nach
n+m(V ∗ ) ab und setzt die Vektorräume damit untereinander in
Beziehung. Analog zur Tensoralgebra (1.66) bildet Gesamtheit all dieser Vektorräume, also der
Summenraum
� ��
∗ pV ∗
V :=
p
(2.10)
ausgestattet mit dem Keilprodukt die sogenannte äußere Algebra � V ∗ (auch Graßmann-Algebra
genannt), d.h. einen in sich konsistenten Satz von Rechenregeln für antisymmetrische kovariante
Tensoren.
Die Antisymmetrie wirkt sich stark einschränkend auf die Dimension dieser Vektorräume aus.
Dazu nehmen wir an, dass der zugrunde liegende Vektorraum V ∗ endlichdimensional ist und
eine Basis {e 1 ,...,e n } besitzt. Wegen der Bilinearität lässt sich nämlich jeder antisymmetrische
Tensor vom Rang q als Linearkombination von Basistensoren
e i1 ∧ ... ∧ e iq
darstellen, wobei i1,...,iq ∈ {1,2,...,n} ist. Diese sind aber nur dann ungleich Null, wenn die
Indices paarweise verschieden sind; darüber hinaus gibt die Vertauschung von Indices ein Minuszeichen,
so dass man eine geordnete Indexmenge1 ≤ i1 < i2 < ... < iq ≤ n voraussetzen
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie