Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

32 Differentialformen
sämtliche Tensorkomponenten antisymmetrisiert, indem die Summe über alle möglichen Permutationen
läuft und sgn(σ) das Signum der jeweiligen Permutation ist. Für n = 3 erhält man
beispielsweise einen antisymmetrischen Tensor dritter Stufe bestehend aus 3! = 6 Summanden:
v1 ∧ v2 ∧ v3 = v1 ⊗ v2 ⊗ v3 + v2 ⊗ v3 ⊗ v1 + v3 ⊗ v1 ⊗ v2 − (2.4)
v2 ⊗ v1 ⊗ v3 − v3 ⊗ v2 ⊗ v1 − v1 ⊗ v3 ⊗ v2 .
Das mehrfache Keilprodukt ist allerdings nur dann sinnvoll, wenn es assoziativ ist, wenn also
(v1 ∧v2)∧v3 = v1 ∧(v2 ∧v3) ≡ v1 ∧v2 ∧v3 ist. Ein Vergleich mit Gl. (2.2) zeigt sofort, dass die
Assoziativität nur dann gewährleistet ist, wenn gilt:
A � � � � � �
v1 ⊗ ... ⊗ vm ∧ A vm+1 ⊗ ... ⊗ vn = A v1 ⊗ ... ⊗ vn . (2.5)
Das Keilprodukt antisymmetrisiert also nicht nur das linke und rechte Argument en bloc, sondern
antisymmetrisiert bezüglich aller Tensorkomponenten, aus denen die beiden Argumente gebildet
sind.
Bemerkung: Ein häufiger Anfängerfehler besteht in dem Missverständnis, dass Gl. (2.1) auch für
beliebige Tensoren höherer Stufe gelte, dass also A ∧ B = A ⊗ B − B ⊗ A wäre, womit die beiden
Argumente lediglich en bloc antisymmetrisiert würden. Das ist jedoch nicht zutreffend. So wäre z.B.
(v1 ∧v2)∧v3 = (v1 ⊗v2 −v2 ⊗v1)∧v3 = v1 ⊗v2 ⊗v3 −v2 ⊗v1 ⊗v3 −v3 ⊗v1 ⊗v2 +v3 ⊗v2 ⊗v1,
d.h. man erhielte im Vergleich zu Gl. (2.4) nur vier der sechs Terme und der resultierende Tensor wäre
nicht antisymmetrisch. Das Keilprodukt ist vielmehr so durchzuführen, dass alle Tensorkomponenten
auf beiden Seiten antisymmetrisiert werden.
2.1.2 q-Multivektoren
Die so gebildeten antisymmetrischen Tensoren heißen faktorisierbar (engl. decompsable) oder
separabel . Linearkombinationen solcher Tensoren sind zwar wiederum antisymmetrisch, jedoch
nicht notwendigerweise faktorisierbar. Jeder antisymmetrische Tensor lässt sich jedoch,
wie bereits mehrfach erwähnt, als endliche Linearkombination faktorisierbarer antisymmetrischer
Tensoren schreiben (vgl. Abschnitt 1.5.7 auf S. 21). Einen solchen antisymmetrischen
Tensor vom Rang (q,0) bezeichnet man als q-Multivektor. Wegen der Bilinearität von ∧ ist das
Keilprodukt auf beliebigen Multivektoren A,B,C definiert, d.h. es ist assoziativ
und bilinear, d.h. für λ,µ ∈ K gilt
A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C (2.6)
(λA + µB) ∧ C = λ(A ∧ C) + µ(B ∧ C) (2.7)
A ∧ (λB + µC) = λ(A ∧ B) + µ(A ∧ C). (2.8)
Wie man leicht überprüfen kann, gilt für Multivektoren A und B vom Rang qA und qB das
Vertauschungsgesetz
A ∧ B = (−1) qAqB B ∧ A. (2.9)
Beweisskizze: Wir stellen uns A und B zunächst als faktorisierbare Tensoren vor. Um von A ∧ B
zu B ∧ A zu kommen, muss jede Tensorkomponente von B durch jede Tensorkomponente von A
durchkommutiert werden, was jedes mal ein Minuszeichen mit sich bringt. Insgesamt gibt es qAqB
solcher Vertauschungsprozesse, womit insgesamt ein Vorfaktor (−1) qAqB entsteht.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie