Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

Inhaltsverzeichnis
1.6 Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Metrischer Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.2 Darstellung des metrischen Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3 Musikalischer Isomorphismus V ↔ V ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.4 Darstellung von ♭ und ♯: Heben und Senken von Indices . . . . . . . . 27
1.6.5 Anwendung der musikalischen Operatoren auf Tensoren . . . . . . . . 28
1.6.6 Transformationsverhalten der Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.7 Nützliche Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Differentialformen 31
2.1 Äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Äußeres Produkt (Keilprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 q-Multivektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.4 Äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.5 Darstellung von p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.6 Interpretation von p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.7 Volumenform ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.8 Darstellung der Volumenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.9 Kontraktion ι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.10 Darstellung der Kontraktion ι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Hodge-Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Anschauliche Beschreibung der Hodge-Dualität . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Verallgemeinertes Skalarprodukt auf p-Formen . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Darstellung des verallgemeinerten Skalarprodukts . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 Hodge-Dualität auf der Basis des verallgemeinerten Skalarprodukts . . 41
2.2.5 Hodge-Stern-Operator ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.6 Darstellung des Hodge-Stern-Operators ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.7 Eigenschaften des Hodge-Stern-Operators ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.8 Hodge-Stern-Operator in orthonormalen Basen . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.9 Selbstdualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Funktionen, Koordinatensysteme und Differentialformen . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 Skalare Funktionen, Kurven und Richtungsableitung . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Differentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.4 Koordinatenbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.5 Darstellung von Feldern in Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . 52
2.3.6 Wechsel zwischen verschiedenen Koordinatensystemen . . . . . . . . . 53
2.3.7 Entartete Differentialformen und Nullvektorfelder . . . . . . . . . . . 55
2.4 Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1 Verallgemeinertes Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Äußere Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.3 Darstellung der äußeren Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.4 Lemma von Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.5 Zusammenhang mit der gewöhnlichen Vektoranalysis . . . . . . . . . . 59
2.4.6 Lie-Klammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.7 Kodifferentialoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
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