Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2 Differentialformen
∧ ι ⋆ d d †
Diese Symbole erwarten Sie in diesem Kapitel. Das äußere Produkt ∧, das innere Produkt ι,
der Hodge-Stern-Operator ⋆ und die äußere Ableitung d sind die grundlegenden Verknüpfungen
in der Theorie der Differentialformen. Sie alle operieren auf antisymmetrisierten Tensoren und
bilden die sogenannte äußere Algebra.
2.1 Äußere Algebra
2.1.1 Äußeres Produkt (Keilprodukt)
Das Tensorprodukt ist nicht kommutativ, denn für zwei verschiedene Vektoren v,w ∈ V ist
v ⊗ w �= w ⊗ v. Oft sind aber bestimmte Symmetrieeigenschaften unter Vertauschung erforderlich.
In diesem Fall kann man das Tensorprodukt symmetriesieren bzw. antisymmetrisieren, ähnlich
wie man z.B. Mehrteilchenwellenfunktionen in der Quantenmechanik symmetrisiert oder
antisymmetrisiert. Das setzt allerdings voraus, dass alle Tensorkomponenten die gleiche Gestalt
haben, also Elemente des gleichen Vektorraums sind. Insbesondere ist es auch unmöglich, Vektoren
und Linearformen zu mischen. Symmetrisierte bzw. antisymmetrisierte Tensorprodukte
können deshalb entweder rein kontravariant (nur aus Vektoren gebildet, nur obere Indices) oder
rein kovariant sein (nur aus Linearformen gebildet, nur untere Indices).
In der Relativitätstheorie spielen antisymmetrische Tensoren eine wesentliche Rolle, denn sie
verallgemeinern das antisymmetrische Kreuzprodukt des R 3 . Um solche Tensoren zu konstruieren,
definiert man ein antisymmetrisiertes Tensorprodukt, das sogenannte äußere Produkt, wegen
des verwendeten Symbols ’∧’ auch Keilprodukt (engl. wedge product) oder auch Dachprodukt
genannt. Für zwei Vektoren v1,v2 ∈ V ist es definiert durch
v1 ∧ v2 := v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1. (2.1)
Analog ist das Keilprodukt aus n Vektoren v1,...,vn ∈ V definiert als
wobei der Antisymmetrisierungsoperator
v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn := A � �
v1 ⊗ v2 ⊗ ... ⊗ vn , (2.2)
A � �
v1 ⊗ v2 ⊗ ... ⊗ vn := ∑ sgn(σ)
σ∈Pn
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
n�
k=1
vσk , (2.3)