Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
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30 Mathematische Grundlagen Wir wenden dieses Resultat nun auf den metrischen Tensor an, indem wir Bi j = gi j setzen. Da gi j invers zu g i j ist und diese Matrizen symmetrisch sind, gelangt man zu ∂ g = gg ∂gi j i j . (1.94) Nach oberen Komponenten abgeleitet erhält man auf analoge Weise ∂ ∂gi j g−1 = g−1 gi j. Anderer- ∂ seits ist ∂gi j g−1 = −g−2 ∂ ∂gi j g. Man erhält also ∂ ∂g i j g = −ggi j . (1.95) Bemerkung: Man beachte, dass man von Gl. (1.94) zu Gl. (1.95) nicht einfach durch das Senken der Indices gelangen kann, sondern dass es dabei zu einem zusätzlichen Minuszeichen kommt. Es handelt sich nämlich hier nicht um eine Tensorgleichung, da g kein Skalar, sondern darstellungsabhängig ist. Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
2 Differentialformen ∧ ι ⋆ d d † Diese Symbole erwarten Sie in diesem Kapitel. Das äußere Produkt ∧, das innere Produkt ι, der Hodge-Stern-Operator ⋆ und die äußere Ableitung d sind die grundlegenden Verknüpfungen in der Theorie der Differentialformen. Sie alle operieren auf antisymmetrisierten Tensoren und bilden die sogenannte äußere Algebra. 2.1 Äußere Algebra 2.1.1 Äußeres Produkt (Keilprodukt) Das Tensorprodukt ist nicht kommutativ, denn für zwei verschiedene Vektoren v,w ∈ V ist v ⊗ w �= w ⊗ v. Oft sind aber bestimmte Symmetrieeigenschaften unter Vertauschung erforderlich. In diesem Fall kann man das Tensorprodukt symmetriesieren bzw. antisymmetrisieren, ähnlich wie man z.B. Mehrteilchenwellenfunktionen in der Quantenmechanik symmetrisiert oder antisymmetrisiert. Das setzt allerdings voraus, dass alle Tensorkomponenten die gleiche Gestalt haben, also Elemente des gleichen Vektorraums sind. Insbesondere ist es auch unmöglich, Vektoren und Linearformen zu mischen. Symmetrisierte bzw. antisymmetrisierte Tensorprodukte können deshalb entweder rein kontravariant (nur aus Vektoren gebildet, nur obere Indices) oder rein kovariant sein (nur aus Linearformen gebildet, nur untere Indices). In der Relativitätstheorie spielen antisymmetrische Tensoren eine wesentliche Rolle, denn sie verallgemeinern das antisymmetrische Kreuzprodukt des R 3 . Um solche Tensoren zu konstruieren, definiert man ein antisymmetrisiertes Tensorprodukt, das sogenannte äußere Produkt, wegen des verwendeten Symbols ’∧’ auch Keilprodukt (engl. wedge product) oder auch Dachprodukt genannt. Für zwei Vektoren v1,v2 ∈ V ist es definiert durch v1 ∧ v2 := v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1. (2.1) Analog ist das Keilprodukt aus n Vektoren v1,...,vn ∈ V definiert als wobei der Antisymmetrisierungsoperator v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn := A � � v1 ⊗ v2 ⊗ ... ⊗ vn , (2.2) A � � v1 ⊗ v2 ⊗ ... ⊗ vn := ∑ sgn(σ) σ∈Pn Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie n� k=1 vσk , (2.3)
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Wir wenden dieses Resultat nun auf den metrischen Tensor an, indem wir Bi j = gi j setzen. Da<br />
gi j invers zu g i j ist <strong>und</strong> diese Matrizen symmetrisch sind, gelangt man zu<br />
∂<br />
g = gg<br />
∂gi j<br />
i j . (1.94)<br />
Nach oberen Komponenten abgeleitet erhält man auf analoge Weise ∂<br />
∂gi j g−1 = g−1 gi j. Anderer-<br />
∂ seits ist ∂gi j g−1 = −g−2 ∂<br />
∂gi j g. Man erhält also<br />
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∂g i j g = −ggi j . (1.95)<br />
Bemerkung: Man beachte, dass man von Gl. (1.94) zu Gl. (1.95) nicht einfach durch das Senken der<br />
Indices gelangen kann, sondern dass es dabei zu einem zusätzlichen Minuszeichen kommt. Es handelt<br />
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