Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.6 Metrik 29
Eine besondere Rolle wird später die Determinante des metrischen Tensors g = det(g) spielen.
Diese Determinante ist darstellungsabhängig und transformiert sich gemäß
g → g ′ =
g
(detM) 2
Merke: Die Determinante g wird immer aus der Darstellungsmatrix des metrischen Tensors mit un-
teren Indices gebildet.
1.6.7 Nützliche Rechenregeln
(1.90)
In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind die Komponenten des metrischen Tensors die elementaren
Freiheitsgrade des Gravitationsfeldes. Aus diesem Grund wird oft nach diesen Komponenten
partiell differenziert. Die zu differenzierenden Ausdrücke sind als Invarianten oft mit
Faktoren √ −g ‘verziert’, so dass man mit der Produktregel oft vor dem Problem steht, die Determinante
g nach einer der Komponenten g i j oder gi j abzuleiten.
Um diese Aufgabe zu lösen, muss man zunächst verstehen, wie die Determinante einer allgemeinen
Matrix nach einer ihrer Komponenten partiell abgeleitet wird. Sei Ai j eine solche Matrix
und
detA = εk1,...,knAk11 knn
···A (1.91)
die dazugehörige Determinante. Wenn man nun nach der Komponente A i j ableitet, erhält man
wobei A −1 die zu A inverse Matrix ist, d.h. A i j A −1
jk = δ i k .
∂
detA = (detA)A−1
∂Ai j ji , (1.92)
Beweis: Wenn man Gl. (1.91) partiell nach A i j differenziert, bleiben von den Produkten auf der rechten
Seite dieser Gleichung nur diejenigen übrig, die diese Komponente enthalten; sie wird dann durch
das Differenzieren aus dem Produkt entfernt. Das Resultat lässt sich schreiben als
∂
∂A i j detA = εk1,...,k j−1,i,k j+1,...,kn Ak11 ···A k j−1 j−1 A i j
////// A k j+1 j+1 ···A knn .
Diese Gleichung wird nun auf beiden Seiten mit Air multipliziert, wobei über i summiert wird. Durch
diesen Trick erhält man auf der rechten Seite wieder die Determinante zurück:
� �
∂
detA A
∂Ai j ir = εk1,...,k j−1,i,k j+1,...,kn Ak11 k j−1 j−1 ir k j+1 j+1 knn
···A A A ···A
= (detA)δ r j .
Dieser Ausdruck wird nun wiederum auf beiden Seiten mit A −1
rs multipliziert, wobei über r summiert
wird: �
∂
detA
∂Ai j
also
�
δ i s = (detA)A −1
js ,
∂
detA = (detA)A−1
∂Ai j ji .
Analog gilt für eine Matrix Bi j mit unteren Indices und der aus ihren Komponenten gebildeten
Determinante detB die Formel
∂
detB = (detB)[B
∂Bi j
−1 ] ji . (1.93)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie