Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

28 Mathematische Grundlagen
Mit dieser Rechenregel wird also ein Index gehoben. Der musikalische Isomorphismus wird
damit als eine sehr einfache formale Rechenregel für das Heben und Senken von Indices implementiert.
Merke: Regeln für das Senken und Heben von Indices:
- Vektoren v = v i ei werden durch kontravariante Komponenten mit oberen Indices dargestellt.
- 1-Formen α = αie i werden durch kovariante Komponenten mit unteren Indices dargestellt.
- Indices kann man senken durch vi = gi jv j und heben durch v i = g i j v j.
- Bei Tensoren kann jeder Index einzeln gehoben oder gesenkt werden. Man braucht dann
entsprechend viele g-Matrizen. Beispiel: A i jk = gil g jmgknA mn
l .
1.6.5 Anwendung der musikalischen Operatoren auf Tensoren
Auch auf Tensoren höherer Stufe kann der musikalische Isomorphismus angewandt werden.
Dabei ist jedoch anzugeben, welche Tensorkomponente gehoben oder gesenkt werden soll. Auch
kann man durch Hintereinanderausführung mehrere Tensorkomponenten heben oder senken.
Während die Indexdarstellung hier unproblematisch ist, erweist sich die abstrakte Notation mit
♭ und ♯ hier als relativ schwerfällig.
Eine Ausnahme sind rein kontravariante und rein kovariante Tensoren, also Tensoren mit ausschließlich
oberen oder unteren Indices. Wir wollen die Konvention benutzen, dass die musikalischen
Operatoren in diesem Fall sämtliche Komponten senken bzw. heben:
rein kontravariant: ♭ : T i1...iq → Ti1...iq
rein kovariant: ♯ : Ti1...ip → Ti1...ip (1.86)
1.6.6 Transformationsverhalten der Metrik
Bei einer Basistransformation bleibt der metrische Tensor g auf V (bzw. g ∗ auf V ∗ ) als abstrakte
Bilinearform unverändert, jedoch ändert sich seine Darstellung gemäß
bzw.
gi j → g ′ i j = gkℓ ˜M k i ˜M ℓ j
(1.87)
g i j → g ′i j = M i k M j
ℓ gkℓ . (1.88)
Wenn man mit g und g ∗ die Matrizen gi j und g i j bezeichnet, lauten diese Transformationsgesetze
in Kurzform
g ′ = ˜M T g ˜M , g ∗′ = Mg ∗ M T . (1.89)
Bemerkung: Man kann leicht überprüfen, dass auch im gestrichenen System g und g ∗ invers zueinander
sind, denn
g ′i j
g jn = M i j
k M ℓ ˜M r j
� �� �
=δ r ˜M
ℓ
s ng kℓ grs = M i k ˜M s n g kℓ gℓs
� �� �
=δ k = m
s
i k ˜M k spcn = δ i n
oder in Kurzform g ′ g ∗′ = ˜M T g ˜MMg ∗ M T = �.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie