Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.6 Metrik 27
Beweis: v ♭ (u ♭♯ ) = g ∗ (u ♭ ,v ♭ ) = g(v,u) == g(u,v) = v ♭ (u) ∀v β ∈ V ∗ ⇔ u ♭♯ = u.
Die Metrik stellt also einen Isomorphismus
V ♭
⇄ ♯
V ∗
(1.80)
zur Verfügung, der als kanonischer Isomorphismus oder wegen der eigenwilligen Notation auch
als musikalischer Isomorphismus bezeichnet wird. Dieser Isomorphismus ist die Grundlage für
das in der Relativitätstheorie übliche “Heben und Senken von Indices”, das wir im folgenden
Abschnitt besprechen werden.
1.6.4 Darstellung von ♭ und ♯: Heben und Senken von Indices
Wir wollen nun untersuchen, wie die einem Vektor u = u j e j zugeordnete 1-Form u ♭ = uke k in
Komponenten aussieht. Dazu lassen wir u ♭ gemäß Gl. (1.76) auf einen beliebigen Vektor v = v i ei
wirken:
u ♭ (v) = uke k (v i ei) = ukv i e k (ei) = ukv i δ k
i = uiv i
= g(u j e j,v i ei) = u j v i g(e j,ei) = u j g jiv i = gi ju j v i
Da diese Gleichung für alle v ∈ V gilt, folgt daraus durch Koeffizientenvergleich
♭ : ui = gi ju j
(1.81)
(1.82)
d.h. gi j ist die Transformationsmatrix von kontravarianten zu kovarianten Komponenten, womit
der Index abgesenkt wird.
Die induzierte metrische Tensor g ∗ auf dem Dualraum wird durch die symmetrische Matrix
g i j = g ji = g ∗ (e i ,e j ) (1.83)
mit oberen Indices dargestellt. Man kann zeigen, dass beide Tensoren invers zueinander sind,
d.h. es gilt
gi jg jk = δ k
i . (1.84)
Beweis: Um diesen Sachverhalt zu beweisen, untersuchen wir zunächst die den Basisvektoren ei
zugeordneten Linearform e ♭ i . Wie bereits oben erwähnt ist im allgemeinen e♭ i �= ei , doch muss ich e ♭ i
als Linearkombination der Basisvektoren e k ∈ V ∗ darstellen lassen, d.h. e ♭ i = cike k . Wendet man beide
Seiten auf einen Basisvektor e j ∈ V an, kann man zeigen, dass die Koeffizienten durch ci j = e ♭ i (e j) =
g(ei,ej) = gi j gegeben sind. Folglich ist
e ♭ i = gi je j .
Dies führt auf die Gleichungskette gi j = g(ei,ej) = g ∗ (e ♭ i ,e♭ j ) = gikg jmg ∗ (e k ,e m ) = gikg jmg km , also
g jmgkm = δ k j , woraus die Behauptung folgt.
Auf analoge Weise kann man nun ausrechnen, wie der einer 1-Form α = α je j durch die ♯-
Abbildung zugeordnete Vektor α ♯ = α k ek in Komponenten aussieht. Man erhält
♯ : α i = g i j α j . (1.85)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie