Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

26 Mathematische Grundlagen
(1,1,1,...) als Riemannsche Metrik und
(−1,1,1,...) als Lorentzsche Metrik.
Der dreidimensionale Ortsraum besitzt eine Riemannsche Metrik, die Raumzeit der Relativitätstheorie
dagegen eine Lorentzsche Metrik.
1.6.3 Musikalischer Isomorphismus V ↔ V ∗
♭-Abbildung:
Wenn man einen Vektor u als linkes Argument von g fest vorgibt, kann g(u,·) als eine lineare
Abbildung des rechten Arguments auf eine Zahl interpretiert werden, also als Linearform und
damit als Element des Dualraums V ∗ . Die Metrik induziert damit eine Abbildung
♭ : V → V ∗ : u ↦→ u ♭ , (1.75)
die jedem Vektor u ∈ V eine dazugehörige 1-Form u ♭ ∈ V ∗ mit der Eigenschaft
auf eindeutige Weise zuordnet.
u ♭ (v) = g(u,v) ∀v ∈ V (1.76)
Man beachte, dass diese Abbildung einen Basisvektor ei nicht notwendigerweise auf die dazugehörige
duale 1-Form ei abbildet, d.h. im Allgemeinen ist e♭ i �= ei . Man kann das daran sehen,
dass die duale Basis durch ei (e j) = δ i j definiert ist (siehe Abschnitt 1.42 auf S. 17), während
e♭ i (e j) = g(ei,ej) ist.
Bemerkung: In der Schulmathematik wird diese Abbildung als Transposition eingeführt, indem einem
Spaltenvektor der entsprechende Zeilenvektor zugeordnet wird. In der Quantenmechanik wird
ein ket-Vektor in den entsprechenden bra-Vektor umgewandelt.
Induzierte Metrik auf V ∗ :
Die Abbildung ♭ induziert ein zu g duales Skalarprodukt g ∗ im Dualraum V ∗ , das zwei 1-Formen
auf eine Zahl abbbildet. Es ist definiert als bilineare Abbildung V ∗ ⊗V ∗ ↦→ K mit der Eigenschaft
g ∗ (u ♭ ,v ♭ ) := g(u,v), (1.77)
wobei u ♭ ,v ♭ die den Vektoren u,v zugeordneten 1-Formen sind. Man kann leicht überprüfen,
dass g ∗ tatsächlich die Axiome eines Skalarprodukts auf V ∗ erfüllt.
♯-Abbildung:
Ähnlich wie g eine Abbildung ♭ : V → V ∗ bereitstellt, induziert g ∗ eine entgegengesetzte Abbildung
♯ : V ∗ → V : α ↦→ α ♯ , (1.78)
indem sie jeder 1-Form α ∈ V ∗ einen Vektor α ♯ ∈ V mit der Eigenschaft
β(α ♯ ) = g ∗ (α,β) ∀β ∈ V ∗
(1.79)
zuordnet. Man kann zeigen, dass u ♭♯ = u und α ♯♭ = α ist, dass also beide Abbildungen zueinander
invers sind.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie