Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.6 Metrik 25
Ein (positiv definites) Skalarprodukt induziert eine Norm
und vermittels dieser Norm eine Metrik
||v|| := � g(v,v) (1.69)
d(u,v) := ||u − v|| (1.70)
Begriffe wie Länge und Abstand werden also erst an dieser Stelle mit der Definition eines Skalarprodukts
eingeführt.
Zur Erinnerung:
Eine Norm || · || auf einem reellen oder komplexen Vektorraum V ist eine Abbildung V → R mit
folgenden Eigenschaften: Für alle u,v ∈ V und λ ∈ K gilt
- ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇒ u = 0
- ||λu|| = |λ| ||u||
- ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
Eine Metrik d ist eine Abbildung V ×V → R + mit folgenden Eigenschaften:
- d(u,u) = 0; d(u,v) = 0 ⇒ u = v
- d(u,v) = d(v,u)
- d(u,w) ≤ d(u,v) + d(v,w)
Wie wir sehen werden, ist in der Relativitätstheorie das innere Produkt g bzw. η nicht mehr
positiv definit, sondern man unterscheidet raumartige Vektoren mit g(u,u) > 0 und zeitartige
Vektoren mit g(u,u) < 0 sowie den Lichtkegel g(u,u) = 0. Genau genommen handelt es sich
also nicht mehr um eine Metrik im mathematischen Sinne, da das dritte Postulat aufgegeben
wird, sondern um eine Pseudometrik. Trotzdem ist es üblich, auch weiterhin von einem Skalarprodukt
bzw. einer Metrik zu sprechen.
1.6.2 Darstellung des metrischen Tensors
Der metrische Tensor g ist wie jede bilineare Abbildung in einer gegebenen Basis {ei} vollständig
dadurch festgelegt, wie er auf die Basisvektoren wirkt, d.h. er wird durch eine symmetrische
Matrix
gi j = g ji = g(ei,ej) (1.71)
dargestellt. Eine Basis {ei} heißt orthogonal bezüglich einer Metrik g, wenn die Basisvektoren
paarweise ‘senkrecht’ aufeinander stehen, d.h.
ei · e j = gi j = 0 ∀i �= j , (1.72)
wenn also der metrische Tensor in dieser Basis diagonal ist. Eine Basis heißt orthonormal, wenn
darüber hinaus
|ei · ei| = |gii| = 1 (1.73)
ist, also alle Diagonalelemente gii = ±1 sind. Es ist üblich, die Basisvektoren durch Permutation
so zu sortieren, dass erst die negativen und dann die positiven Diagonalelemente kommen, also
gi j = diag(−1,...,−1,+1,...,+1). (1.74)
Diese Anordnung der Vorzeichen wird als Signatur einer Metrik bezeichnet. Man bezeichnet
insbesondere Metriken mit der Signatur
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie