Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

24 Mathematische Grundlagen
1.5.11 Tensoralgebra
Wie bereits erwähnt sind die Tensoren der Stufe (q, p) Elemente eines Vektorraums � (q,p) V . Mit
dem Tensorprodukt und der Kontraktion werden diese Vektorräume untereinander verknüpft. Es
ist deshalb üblich, alle Vektorräume durch Summenbildung zu einem gemeinsamen Vektorraum
� ��
(q,p)V
V := (1.66)
q,p
zusammenzufassen. Dieser Gesamtvektorraum aller Tensoren zusammen mit den Rechenregeln
des Tensorprodukts und der Kontraktion wird als Tensoralgebra bezeichnet. Eine wichtige Eigenschaft
dieser Algebra besteht darin, dass sie nicht schließt, d.h. man kann Tensoren beliebig
hoher Stufe (also in einer Darstellung mit beliebig vielen Indices) erzeugen.
Bemerkung: Man sollte sich hier noch einmal vergegenwärtigen, dass das Tensorprodukt ⊗, mit
dem man ohne weiteres völlig verschiedene Vektorräume verknüpfen könnte (vgl. Abschnitt 1.4.3 auf
S. 13), innerhalb der Tensoralgebra nur auf Tensoren angewandt wird, die Tensorpotenzen über V und
V ∗ sind, denn nur dann ist eine Kontraktion möglich.
1.6 Metrik
1.6.1 Metrischer Tensor
Eine wichtige mathematische Struktur ist das Skalarprodukt, auch inneres Produkt genannt. Ein
Skalarprodukt ist eine Abbildung g : V ×V → K, die im gewöhnlichen R n bekanntlich durch
g(u,v) = u · v = uvcos � ∢(u,v) �
(1.67)
gegeben ist. Das Skalarprodukt hat also etwas mit Längen und Winkeln zu tun. In der Tat werden
diese Begriffe erst mit der Definition eines Skalarprodukts ins Leben gerufen.
Ein Skalarprodukt besitzt folgende Definitionseigenschaften:
1. Rechtslinearität: g(u,λv + µw) = λg(u,v) + µg(u,w)
2. Symmetrie: g(u,v) = g(v,u) für reelle Vektorräume (K = R) bzw.
g(u,v) = g(v,u) ∗ für komplexe Vektorräume (K = C).
3. Die Abbildung ist positiv definit, d.h. g(u,u) ≥ 0 und
g(u,u) = 0 genau dann wenn u = 0.
Aus der Linearität im rechten Argument und der Symmetrie ergibt sich die Linearität (bzw. Antilinearität
im komplexen Fall) im linken Argument. In reellen Vektorräumen, auf die wir uns in
der Relativitätstheorie beschränken werden, ist das Skalarprodukt also eine bilineare Abbildung,
die zwei Vektoren auf eine reelle Zahl abbildet. g ist demzufolge ein kovarianter symmetrischer
metrischer Tensor vom Rang (0,2), der als metrischer Tensor bezeichnet wird. Die sogenannte
euklidische Metrik, die dem gewöhnlichen kartesischen Skalarprodukt im Rn entspricht, ist
durch eine Einheitsmatrix gegeben:
g(ei,ej) = δi j
(1.68)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie