Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.5 Multilinearformen 23
Beweisskizze: Am Beispiel T = α ⊗v kann man sich leicht überzeugen, dass die beiden Definitionen
wegen C (T) = (v ⊗ α)(e i ,ei) = α(ei)e i (v) = αiv i = α(v) äquivalent sind.
Für Tensoren höherer Stufe muss man genau angeben, welche Eingänge miteinander verbunden
werden. Außerdem ist es möglich, Mehrfachkontraktionen durchzuführen, also mehrere Paare
von Eingängen miteinander zu verbinden. Die Vielzahl der Möglichkeiten hat in der Literatur zu
einer Vielzahl von Notationen geführt:
C k
ℓ
C k1...km
ℓ1...ℓm
Diese Schreibweise verallgemeinert die obige Definition C = C 1 1 , und zwar
wird die k.-te kontravariante Tensorkomponente mit der ℓ-ten kovarianten
Tensorkomponente kontrahiert, in einer Darstellung wird also über den k-ten
oberen Index nd den ℓ-ten unteren Index summiert.
analoge Notation für Mehrfachkontraktionen.
〈β,A〉 Vollständige Kontraktion einer p-Form mit einem p-Vektor zu einer Zahl
in einer Dirac-artigen Notation. Darf nicht mit einem Skalarprodukt verwechselt
werden. Wir werden deshalb diese Notation nicht verwenden
Achtung: Für antisymmetrische Tensoren wird später noch eine weitere Notation ιAβ eingeführt
(siehe Abschnitt 2.1.9 auf S. 38), die den griechischen Buchstaben Iota benutzt. Sie unterscheidet
sich von den hier aufgeführten Notationen durch zusätzliche kombinatorische Faktoren.
Bemerkung: Die Dirac-Klammer 〈φ|ψ〉 in der Quantentheorie ist kein Skalarprodukt, sondern eine
Kontraktion. Dass sich die Dirac-Klammer dennoch effektiv wie ein Skalarprodukt verhält, ist eine
Konsequenz des musikalischen Isomorphismus, den wir weiter unten besprechen werden.
1.5.10 Darstellung einer Kontraktion
Für einen Tensor vom Rang (1,1) wird die Kontraktion in einer gegebenen Darstellung durch
C (T) = T(e i ,ei) = T i i
(1.65)
dargestellt, d.h. eine Kontraktion ist nichts anderes als die Spurbildung über ein Paar entgegengesetzt
positionierter Indices. Bei Tensoren höherer Stufe kann im Prinzip jede kontravariante
mit jeder kovarianten Tensorkomponente kontrahiert werden und man kann mehrfache Kontraktionen
auf einmal durchführen (also mehrere Paare kurzschließen).
Beispiele:
• Die Kontraktion C 2 2 T eines Tensors vom Rang (2,2) in Komponenten durch T ik jk dargestellt.
• Die Kontraktion 〈α,X〉 eines Vektors X mit einer 2-Form α wird durch X i αi j dargestellt.
• Die vollständige Kontraktion 〈ω,T〉 = C 12
12 (T⊗ω) eines kontravarianten Tensors T vom Rang
(2,0) mit einer 4-Form ω wird durch T i jωi jkℓ dargestellt.
• Seien A und B Tensoren vom Rang (1,1). Dann sieht C 2 1 (A ⊗ B) = Ai j
jB k formal wie eine
Matrixmultiplikation aus. In der Tat ist eine Matrixmultiplikation nicht anderes als eine Kontraktion
des letzen Index des ersten mit dem ersten Index des zweiten Tensors.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie