Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

22 Mathematische Grundlagen
1.5.8 Darstellung des Tensorprodukts
In einer gegebenen Basis {ei} bzw. {e i } wird das Tensorprodukt zweier Tensoren einfach dadurch
gebildet, dass man die entsprechenden Komponenten miteinander multipliziert. Ist beispielsweise
mit α = αie i und β = β je j , dann ist α ⊗β = αiβ j(e i ⊗e j ), also hat die Bilinearform
γ = α ⊗ β die Darstellung
γ = α ⊗ β ⇔ γi j = αiβ j. (1.59)
Analog bildet man das Tensoprodukt C = A ⊗ B von zwei Tensoren der Stufe (q1, p1) bzw.
(q2, p2) in einer gegebenen Basis einfach durch Multiplikation der Komponenten:
C i1...iq 1 k1...kq 2
j1... jp 1 ℓ1...ℓp 2
= A i1...iq 1
j1... B jp1 k1...kq2 . (1.60)
ℓ1...ℓp2 Wie man leicht sehen kann, erhält man in der Tat einen Tensor vom Rang (q1 + q2, p1 + p2).
1.5.9 Kontraktion
Eine Kontraktion C , auch Verjüngung genannt, ist eine
Verknüpfung, mit der sich der Rang eines Tensors verringern
lässt. Eine Kontraktion kann man sich so vorstellen,
als ob man zwei Eingangskanäle eines Tensors kurzschließt.
Grundsätzlich lassen sich nur kontravariante mit
kovarianten Eingänge auf diese Weise paarweise kurzschließen.
Eine Kontraktion reduziert also den Rang von
(q, p) auf (q − 1, p − 1).
Als einfachstes Beispiel betrachten wir einen faktorisierbaren Tensor T vom Rang (1,1), der
also als Tensorprodukt T = v ⊗ α aus einer 1-Form α ∈ V ∗ und einem Vektor v ∈ V schreiben
lässt. In diesem Fall ist die Kontraktion definiert als die Anwendung der 1-Form α auf den
Vektor v und ergibt damit eine (0,0)-Tensor, also einen Skalar:
C (v ⊗ α) = α(v) (1.61)
Ein nichtfaktorisiernde Tensor vom Rang (1,1) kann stets als Linearkombination faktorisierender
Tensoren geschrieben werden:
T = ∑ λµvµ ⊗ αµ . (1.62)
µ
Auch solche Tensoren kann man kontrahieren, da die Kontraktion eine lineare Operation ist und
damit auf die Summanden durchgeschleift werden kann:
C (T) = ∑ µ
λµC (vµ ⊗ αµ) = ∑ µ
λµαµ(vµ) (1.63)
Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie darstellungsfrei ist. Eine alternative und für den praktischen
Gebrauch nützlichere Definition ist
C (T) = T(e i ,ei), (1.64)
wobei {e i } und {ei} Basen von V ∗ und V sind und über den Index i wie üblich summiert wird.
Obwohl hier explizit eine Basis gebraucht wird, ist auch diese Definition darstellungsunabhängig.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie