Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Grundlagen 3
1.1 Elemente der Gruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Quotientengruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.6 Kern, Bild und dazugehörige Quotientengruppen . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Vektorraumaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Darstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Affine Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Darstellung linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Zusammengesetzte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Direkte Summe ⊕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Darstellung direkter Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Tensorprodukt ⊗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.4 Rechenregeln für Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.5 Darstellung des Tensorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Darstellung von 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Basistransformation von 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.5 Darstellung von Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.6 Tensoren versus Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.7 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.8 Darstellung des Tensorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.9 Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.10 Darstellung einer Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.11 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie