Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.5 Multilinearformen 21
1.5.6 Tensoren versus Matrizen
Oft wird gesagt, dass Tensoren Matrizen und damit lineare Abbildungen wären. Streng genommen
ist das nicht korrekt, da eine lineare Abbildung einen Vektor auf einen anderen Vektor
abbildet, ein Tensor dagegen Vektoren und 1-Formen auf eine Zahl. Trotzdem gibt es einen
engen Zusammenhang. Sei beispielsweise A eine lineare Abbildung eines Vektorraums V auf
sich selbst, die durch eine quadratische Matrix A j
i dargestellt wird. Auch wenn diese Matrix wie
ein gemischter Tensor vom Rang (1,1) aussieht, liefert die Abbildung einen Vektor anstatt einer
Zahl. Allerdings kann man diesen Ergebnisvektor mit einer weiteren 1-Form α zu einer Zahl
kontrahieren. Damit erhält man einen Tensor vom Rang (1,1)
TA(α,v) := α(Av)), (1.57)
dessen Komponenten TA(e j ,ei) gerade die Matrixelemente A j
i sind. Insofern lässt sich in der Tat
jede lineare Abbildung als ein Tensor interpretieren.
Bemerkung: Sie kennen das bereits aus der Quantentheorie: Einen Operator H kann man einerseits
als lineare Abbildung H → H auf einem Hilbertraum H auffassen, andererseits aber auch als eine
bilineare Abbildung, die einen ket-Vektor |ψ〉 ∈ H und einen bra-Vektor 〈φ| ∈ H ∗ auf eine Zahl
〈φ|H|ψ〉 ∈ C abbildet.
1.5.7 Tensorprodukt
Das Tensorprodukt ⊗ verknüpft zwei Tensoren zu einem
neuen Tensor höherer Stufe, indem einfach die Ergebnisse
der beiden black boxes miteinander multipliziert werden.
Der neue Tensor hat so viele Argumente wie die beiden
ursprünglichen Tensoren zusammen, d.h. der Ränge
dieser Tensoren addieren sich. Das Tensorprodukt ist also
eine Abbildung
��(q1,p1) � ��(q2,p2) �
V ⊗ V → � (q1+q2,p1+p2)
V
und ermöglicht, Tensoren höherer Stufe zu konstruieren.
Als Beispiel betrachten wir zwei Linearformen α und β, also Tensoren vom Rang (0,1). Diese
beiden Tensoren können zu einer Bilinearform γ = α ⊗ β, also zu Tensor vom Rang (0,2)
verknüpft werden, indem man deren Ergebnisse einfach miteinander multipliziert:
γ(v1,v2) = α(v1)β(v2) (1.58)
Wichtig: Nicht alle Tensoren vom Rang (0,2) lassen sich in der Form α ⊗ β schreiben. Die beiden
1-Formen haben nämlich je drei, also zusammen sechs Freiheitsgrade, während in Tensor
vom Rang (0,2) neun Freiheitsgrade besitzt. Deshalb bilden die Tensoren von der Form α ⊗ β
nur eine Teilmenge von � (0,2) V , nämlich die Teilmenge der faktorisierbaren Tensoren. Erst bei
Hinzunahme aller Linearkombinationen erhält man den gesamten Vektorraum (vgl. Abschnitt
1.4.3 auf S. 13). Das bedeutet, dass jeder nicht-faktorisierbare Tensor als (endliche) Linearkombination
von Tensorprodukten geschrieben werden kann.
Durch mehrfache Ausführung des Tensorprodukts kann man sukzessive Tensoren beliebig
hohen Rangs erzeugen. Das Tensorprodukt ist also eine Verknüpfung, mit der man Tensoren
höherer Stufe konstruieren kann.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie