Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

20 Mathematische Grundlagen
1.5.5 Darstellung von Tensoren
Wegen ihrer Linearität lassen sich Tensoren in einer gegebenen Basis {ei} von V und der dazugehörigen
dualen Basis {e j } von V ∗ in Komponenten darstellen. Dazu lassen wir einen Tensor
vom Rang (q, p) auf q 1-Formen und p Vektoren wirken. Um deren Nummerierung von der Indizierung
der Komponenten unterscheiden zu können, schreiben wir die Nummer des Arguments
in runden Klammern:
T(α (1) ,...,α (q) ; v (1),...,v (p))
= T �
∑α j1
(1)
j1 e j1 , ..., ∑α jq
(q)
jq e jq ; ∑v i1
i1
(1) ei1 , ... ,∑ v
ip
ip
(p) eip
= ∑ α
j1,..., jq,i1,...,ip
(1)
···α j1
(q)
jq vi1
(1) ···vip (p) T(e j1 jq ,...,e ; ei1
=: T j1 ... jq
i1 ...ip
Mit der Einsteinschen Summenkonvention gilt also
T(α (1) ,...,α (q) ; v (1),...,v (p)) = T j1... jq
,...,eip ) .
� �� �
i1...ip α(1) ···α j1
(q)
jq vi1
(1) ···vip (p)
�
(1.50)
(1.51)
Gemäß der oben eingeführten Nomenklatur heißen die oberen Indices kontravariant, die unteren
dagegen kovariant. Die Zahlen
T j1... jq
i1...ip = T(e j1 jq ,...,e ; ei1 ,...,eip ) (1.52)
sind die Komponenten des Tensors T, der sich als Linearkombination von Tensorprodukten der
Basisvektoren darstellen lässt als
T = T j1... jq
i1...ip e j1 ⊗ ... ⊗ e jq ⊗ ei1 ⊗ ... ⊗ e ip . (1.53)
Die Tensorprodukte der Basisvektoren kann man als Basisvektoren
E
k1...kq
l1...lp
:= ek1 ⊗ ... ⊗ ekq ⊗ el1 ⊗ ... ⊗ e lp (1.54)
eines Vektorraums � (q,p) V = (V ) ⊗q ⊗ (V ∗ ) ⊗p auffassen. Diese besitzen die Eigenschaft
E
k1...kq
l1...lp
� e j1 ,...,e jq ; ei1 ,...,eip
Auf diese Weise lässt sich Gl. (1.53) kompakt schreiben als
� j1,..., jq,l1,...,lp
= δ . (1.55)
k1,...,kq,i1,...,ip
i1...ip
T = T j1... jq
i1...ip E j1... . (1.56)
jq
d.h. jeder Tensor lässt sich als Linearkombination dieser Basistensoren darstellen, wobei die
Linearfaktoren gerade die in Gl. (1.51) definierten Tensorkomponenten sind:
Die Relativitätstheorie arbeitet mit Tensoren bis zu einem Gesamtrang von q+ p = 4. In einer
darstellungsabhängigen Formulierung wird die hier schon sichtbare „Indexgymnastik” schnell
unübersichtlich und kann sogar die physikalische Bedeutung verschleiern. Auch deshalb ist es
ratsam, eine darstellungsunabhängige Formulierung anzustreben. Natürlich erfordert jede konkrete
Berechnung, beispielsweise auf einem Computer, die Verwendung einer geeigneten Darstellung.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie