Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.5 Multilinearformen 19
Im Gegensatz zu den Komponenten eines Vektors, für die das Transformationsgesetz
v i → v ′i = M i jv j
gilt, transformieren sich die Komponenten einer 1-Form α = α je j also gemäß
(1.47)
α j → α ′ j = αk ˜M k j . (1.48)
Dabei ist die Ordnung der Indices zu beachten, d.h. man hat es hier sozusagen mit der transponierten
Transformationsmatrix α ′ j = αk ˜M T k
j zu tun.
Beweis: In der Tat ist α ′ je′ j
= ˜M k j
jM ℓαkeℓ = αℓeℓ = α
1.5.4 Tensoren
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und V ∗ der
dazugehörige duale Vektorraum der 1-Formen. Ein
Tensor ist eine multilineare (d.h. in jedem Argument
lineare) Abbildung
T : (V ∗ ) ⊗q ⊗ (V ) ⊗p → K,
also eine lineare black box, die q 1-Formen und p Vektoren auf eine Zahl abbildet. Die beiden
Zahlen (q, p) werden als Rang oder Stufe des Tensors bezeichnet. 4 Einige Spezialfälle kennen
wir bereits:
- Ein Tensor vom Rang (0,0), der nichts auf eine Zahl abbildet, ist ein Skalar.
- Ein Tensor vom Rang (1,0), der eine 1-Form auf eine Zahl abbildet, ist ein Vektor.
- Ein Tensor vom Rang (0,1), der einen Vektor auf eine Zahl abbildet, ist eine 1-Form.
Man unterscheidet folgende Arten von Tensoren:
- Kovariante Tensoren bilden ausschließlich Vektoren ab.
- Kontravariante Tensoren bilden ausschließlich 1-Formen ab.
- Gemischte Tensoren bilden sowohl Vektoren als auch 1-Formen ab.
Genau wie 1-Formen können Tensoren addiert werden, indem man ihre Ergebnisse addiert.
Ebenso können sie skalar multipliziert werden, indem man ihr Ergebnis skalar multipliziert.
Die Menge der Tensoren der Stufe (q, p) bilden also einen eigenständigen Vektorraum. Weil
Tensoren als lineare Abbildungen von (V ∗ ) ⊗q ⊗ (V ) ⊗p in den Zahlenkörper definiert sind, sind
sie selbst Elemente des dazu dualen Vektorraums, den wir kurz mit
bezeichnen wollen.
� (q,p)V := (V ) ⊗q ⊗ (V ∗ ) ⊗p
4 Manche Autoren verstehen unter dem Rang bzw. der Stufe die Summe p + q.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(1.49)