Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

18 Mathematische Grundlagen
Zu jeder Basis {ei} von V gehört also eine zugeordnete Basis {e j } von V ∗ , die als duale Basis
bezeichnet wird. In einem endlichen Vektorraum besitzen V und V ∗ die gleiche Anzahl von
Basisvektoren und haben damit die gleiche Dimension. Es ist üblich, die ‘normalen’ Basisvektoren
mit unteren Indices und die 1-Formen der dualen Basis mit oberen Indices zu schreiben.
Die Linearfaktoren von Vektoren schreibt man dagegen mit oberen, die Linearfaktoren der 1-
Formen mit unteren Indices, also genau entgegengesetzt. Summiert wird stets über Paare hochund
tiefstehender Indices. Gemäß der Einsteinschen Summenkonvention ist es üblich, das Summenzeichen
wegzulassen.
Merke:
Einen Vektor v kann man durch v = v i ei mit Komponenten v i = e i (v) darstellen.
Eine 1-Form α kann man durch α = αie i mit Komponenten αi = α(ei) darstellen.
Die Anwendung einer 1-Form α auf einen Vektor v nimmt also in einer gegebenen Darstellung
die Form
α(v) = αiv i
(1.45)
an. Das Resultat α(v) wird Verjüngung oder Kontraktion von α und v genannt und wird in der
Mathematik auch mit ιvα bezeichnet. Das Paar entgegengesetzt stehender Indices, über das kontrahiert
wird, sieht auf den ersten Blick einem Skalarprodukt ähnlich, doch handelt es sich hier
nicht um ein Skalarprodukt, denn Längen und Winkel sind an dieser Stelle noch nicht erklärt.
Wir werden auf den Begriff der Kontraktion im Abschnitt 1.5.9 auf S. 22 noch genauer eingehen.
Bemerkung: Darstellungen von 1-Formen werden bereits in der Schulmathematik durch die Hintertür
in der Gestalt von Zeilenvektoren eingeführt. Hier schreibt man beispielsweise
�
α1,α2,...
α(v) =
�⎛
v
⎝
1
v2 ⎞
⎠
...
und führt die Kontraktion nach der Regel „Zeile mal Spalte“ durch. Auch in der Quantenmechanik
sind Ihnen bereits 1-Formen begegnet, und zwar in der Dirac-Notation als bra-Vektoren 〈φ| ∈ H ∗ ,
die mit den Zustandsvektoren |ψ〉 ∈ H zu einem Skalar 〈φ|ψ〉 ∈ C kontrahiert werden können. In
Lehrbüchern werden solche Kontraktionen als Skalarprodukte bezeichnet, was aber streng genommen
nicht korrekt ist. Wir werden auf diesen Punkt später zurückkommen (siehe Abschnitt 1.6.1 auf S. 24).
Wir haben 1-Formen als lineare Maschinen eingeführt, die auf Vektoren angewandt werden und
eine Zahl als Ergebnis liefern. Da aber die 1-Formen ihrerseits einen dualen Vektorraum bilden,
kann man auch umgekehrt Vektoren als lineare Maschinen auffassen, die angewandt auf eine
1-Form eine Zahl liefern.
1.5.3 Basistransformation von 1-Formen
Unter einer Basistransformation ei → e ′ i = ek ˜M k i (siehe Abschnitt 1.3.3 auf S. 11) müssen sich
die Basisvektoren des Dualraums auf entgegengesetzte Weise gemäß
e j → e ′ j = M j
ℓ eℓ
(1.46)
transformieren, wobei M = ( ˜M) −1 ist, denn nur dann erfüllt die gestrichene duale Basis die
Definitionseigenschaft e ′ j
(e ′
i) = δ j
i (vgl. Abschnitt 1.5.2 auf S. 17).
Beweis: Es ist e ′ j
(e ′
i) = M j
ℓ ˜M k ieℓ (ek) = M j
k ˜M k j
i = δi Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie