Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.5 Multilinearformen 17
Abbildung 1.2: 1-Form im R 2 . Eine 1-Form α lässt sich anschaulich als eine Art Feld auf dem Vektorraum vorstellen,
das in der Abbildung durch die Intensität der Blaufärbung visualisiert wird. Da die 1-Form
linear ist, müssen die “Äquipotentiallinien” dieses Feldes parallele Geraden sein. Wendet man eine
1-Form auf einen Vektor v an, dann ist das Ergebnis gerade der Wert des Feldes an dieser
Stelle, hier also α(v) = 1.
1.5.2 Darstellung von 1-Formen
Sei α ∈ V ∗ eine 1-Form und {ei} eine Basis von V . Da sich jeder Vektor v ∈ V als Linearkombination
v = ∑i v i ei schreiben lässt und α linear ist, gilt
α(v) = α
�
∑ i
v i ei
�
= ∑ i
v i α(ei). (1.41)
Um eine 1-Form zu definieren, muss man also lediglich angeben, wie sie auf die Basisvektoren
wirkt, eine 1-Form wird also vollständig durch die Zahlen α(ei) ∈ K charakterisiert.
Diese Beobachtung ermöglicht es uns, eine spezielle Menge {e j } von 1-Formen mit der Eigenschaft
e j (ei) = δ j
i
zu definieren, wobei j und i aus der gleichen Indexmenge kommen und
δ j
i =
� 1 i = j
0 i �= j
(1.42)
(1.43)
die Kronecker-Symbole sind (hier dürfen die Indices ausnahmsweise übereinander stehen). Die
Menge der 1-Formen {e j } ist eine Basis des Dualraums V ∗ , denn man kann jede 1-Form α ∈ V ∗
schreiben als Linearkombination
α = ∑ j
α je j
mit α j = α(e j). (1.44)
Beweis: Um dies zu zeigen, untersuchen wir, wie die 1-Form α auf die Basisvektoren wirkt. Man
erhält α(ei) = ∑ j α je j (ei) = ∑ j α jδ j
i = αi ; die Linearfaktoren sind also eindeutig bestimmt und so
ist klar, dass sich jede 1-Form auf diese Weise darstellen lässt.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie