Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

16 Mathematische Grundlagen
Bemerkung: Beitrag von Martin Paulig: In der Praxis ist es hilfreich, die Tensorproduktbildung zu
automatisieren. Eine einfache Mathematica R○ -Funktion, die sowohl Vektoren als auch Matrizen mit
beliebiger Dimensionalität in dem üblichen Listenformat nach den obigen Regeln multipliziert, nimmt
nur zwei Zeilen in Anspruch:
Attributes[CircleTimes] = {Flat, OneIdentity};
CircleTimes[a_List, b_List] := KroneckerProduct[a, b];
Für das Tensorprodukt |c〉 = |a〉 ⊗ |b〉 schreibt man dann einfach
cvec = {a1,a2,a3} ⊗ {b1,b2}
wobei man das Symbol ⊗ durch die Tastenfolge ESC c * ESC eingibt. Das oben definierte Tensor-
produkt funktioniert auch für Matrizen.
1.5 Multilinearformen
1.5.1 1-Formen
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Eine Linearform oder auch 1-Form ist eine Abbilung
α : V → K mit den Eigenschaften
• Additivität: α(u + v) = α(u) + α(v) für alle u,v ∈ V .
• Homogenität: α(λv) = λα(v) für alle v ∈ V und λ ∈ K.
Eine 1-Form ist also vereinfacht gesagt eine lineare black box, die Vektoren auf Zahlen abbildet.
Man kann zwei 1-Formen α,τ addieren, indem man einfach ihre Ergebnisse addiert. Ebenso
kann man eine 1-Form mit einem Skalar λ ∈ K multiplizieren, indem man ihr Ergebnis mit
einem Skalar multipliziert. In Formeln ausgedrückt:
(α + τ)(v) := α(v) + τ(v), (λα)(v) := λα(v). (1.40)
Man kann leicht zeigen, dass α + τ und λα wiederum additive homogene Abbildungen, also
wiederum 1-Formen sind. Die Menge aller 1-Formen besitzt deshalb ebenfalls eine Vektorraumstruktur.
Der Vektorraum der 1-Formen wird dualer Vektorraum bzw. Dualraum, manchmal auch
Kovektorraum genannt und mit dem Symbol V ∗ bezeichnet.
Merke: Eine 1-Form ist vereinfacht ausgedrückt eine lineare Maschine, die Vektoren eines Vektor-
raums V auf Zahlen abbildet. Die Menge aller 1-Formen ist ebenfalls ein Vektorraum und wird als
Dualraum V ∗ bezeichnet.
Man beachte, dass sich 1-Formen nicht zur Definition der Länge eines Vektors eignen. Die Länge
eines Vektors sollte nämlich stets positiv sein, während eine 1-Form wegen α(−v) = −α(v)
auch negative Ergebnisse liefern kann.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie