Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ... Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
14 Mathematische Grundlagen In diesem Aufspann sind die Vektorraumaxiome erfüllt und man kann sich leicht überzeugen, dass die Dimension dieses Raumes gleich dem Produkt der Einzeldimensionen ist: dim(U ⊗V ) = dim(U)dim(V ). (1.32) U und V bezeichnet man als die Tensorkomponenten des Tensorprodukts U ⊗V . Eine anschauliche Deutung des Tensorprodukts ist schwierig, da der erste nichttriviale Fall R 2 ⊗ R 2 bereits auf einen vierdimensionalen Raum führt. Da ein Tensorprodukt auf geordneten Paaren basiert, ist im allgemeinen U ⊗V �= V ⊗U, d.h. das Tensorprodukt ist nicht kommutativ und die Tensorkomponenten haben somit eine individuelle voneinander unterscheidbare Identität. Bemerkung: Sie kennen Tensorprodukte wahrscheinlich bereits aus der Quantentheorie. Für Zen- tralpotentiale faktorisieren beispielsweise die Eigenfunktionen in ψn(r) in einen Radialanteil u(r) und eine Kugelflächenfunktion Ylm(θ,φ). Statt |ψn〉 = |u〉 ⊗ |Ylm〉 schreibt man allerdings oft nur |ψn〉 = |u〉|Ylm〉. In ganz ähnlicher Weise benutzt man für Systeme mit mehreren Spins die Notation | ↑↑〉 = | ↑〉| ↑〉 statt | ↑〉 ⊗ | ↑〉. 1.4.4 Rechenregeln für Tensorprodukte Das Tensorprodukt zweier linearer Abbildungen ist dadurch definiert, dass die Einzelabbildungen auf jeder Tensorkomponente separat wirken, d.h. (A ⊗ B)(u ⊗ v) = (Au) ⊗ (Bv). (1.33) Eine lineare Abbildung C : U ⊗V → U ⊗V , die sich in der Form C = A ⊗ B schreiben lässt, heißt faktorisierbar. Solche Abbildungen wirken auf die beiden Tensorfaktoren separat, ohne sie miteinander zu mischen oder in Beziehung zu bringen. Das Transponieren bzw. Adjungieren faktorisierbarer linearer Abbildungen wird in allen Tensorkomponenten einzeln durchgeführt, d.h. (A ⊗ B) T = A T ⊗ B T , (A ⊗ B) † = A † ⊗ B † . (1.34) Bemerkung: Im Gegensatz zu verketteten linearen Abbildungen (Matrixprodukten), bei denen sich die Reihenfolge der Faktoren unter Transposition gemäß (A1A2) T = AT 2 AT 1 umkehrt, bleibt die Reihenfolge der Tensorfaktoren erhalten. Bei einer Mischung dieser beiden Produktarten gilt deshalb z.B.[(A1A2) ⊗ (B1B2B3)] T = (A T 2 AT 1 ) ⊗ (BT 3 BT 2 BT 1 ). Das Tensorprodukt zweier Skalare λ,µ ∈ C wird formal als Multiplikation in C aufgefasst: λ ⊗ µ ≡ λ µ . (1.35) Die Determinante eines Tensorprodukts ist das Produkt der Determinanten der Faktoren: det(A ⊗ B) = detA detB. (1.36) Tensorprodukte können ohne weiteres mehrfach durchgeführt werden, z.B. kann ein Hilbertraum V als dreifaches Tensorprodukt V = V1 ⊗V2 ⊗V3 von Einzelräumen V1,V2,V3 definiert werden. Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 15 1.4.5 Darstellung des Tensorprodukts Ist {ei} wie gehabt eine Basis von U und {f j} eine Basis von V , so erhält man eine Basis des Produktraums durch Bildung aller möglichen Produkte der Basisvektoren: {e1 ⊗ f1, e1 ⊗ f2, e1 ⊗ f3,... e2 ⊗ f1, e2 ⊗ f2, e2 ⊗ f3,... e3 ⊗ f1, e3 ⊗ f2, e3 ⊗ f3,... ...,} (1.37) Als übliche Konvention werden die Basisvektoren dabei lexikographisch geordnet. Wie man leicht sehen kann, ist dim(U ⊗V ) = dim(U)dim(V ). In der so konstruierten Darstellung kann das Tensorprodukt von Vektoren auf folgende Weise gebildet werden. Sei dazu wiederum u = u i ei und v = v i fi. Dann ist u ⊗ v = ∑i, j u i v j (ei ⊗ f j), in der Spaltenvektornotation hat man also beispielsweise ⎛ u u ⊗ v = ⎝ 1 u2 u3 ⎞ � ⎠ v1 ⊗ v2 ⎛ u ⎜ � ⎜ = ⎜ ⎝ 1v1 u1v2 u2v1 u2v2 u3v1 u3v2 ⎞ ⎟ ⎠ (1.38) Im Gegensatz zur direkten Summe, bei der man die beiden Spaltenvektoren einfach aneinander hängt, werden Tensorprodukte von Vektoren gemäß der Regel „jeder mit jedem” durch Multiplikation der Komponenten gebildet. Auch hier ist es üblich, die Komponenten entsprechend ihrer Mehrfachindices lexikographisch zu ordnen. Im obigen Beispiel erhält man einen sechskomponentigen Vektor, der aber nur aus fünf unabhängigen Komponenten gebildet wird. Hier bestätigt sich anschaulich, dass die Produktvektoren in der Tat nur eine Teilmenge des gesamten sechsdimensionalen Raums darstellen. Bemerkung: Man beachte, dass bei der Bildung des Tensorprodukts auch die entsprechenden physikalischen Einheiten miteinander multipliziert werden. Repräsentieren beispielsweise u und v Abstände mit der Einheit einer Länge, so besitzt das Tensorprodukt die Dimension einer Fläche. Mit dem Tensorprodukt können auch Vektoren mit unterschiedlichen physikalischen Einheiten multipliziert werden. Das Tensorprodukt zweier linearer Abbildungen sieht folgendermaßen aus: A ⊗ B = = ⎛ ⎝ ⎛ A1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A3 2 A3 3 ⎞ � ⎠ B1 ⊗ 1 B1 � 2 B 2 1 B2 2 A 1 1 B1 1 A1 1 B1 2 A1 2 B1 1 A1 2 B1 2 A1 3 B1 1 A1 3 B1 2 ⎜ A ⎜ ⎝ 1 1B21 A11 B22 A12 B21 A12 B22 A13 B21 A13 B22 A2 1B11 A21 B12 A22 B11 A22 B12 A2 3B11 A2 3B1 2 A2 1B21 A21 B22 A22 B2 1 A22 B22 A23 B21 A23 B22 A3 1B11 A3 1B12 A3 2B11 A3 2B12 A3 3B11 A3 3B12 A3 1B21 A3 1B22 A3 2B21 A3 2B22 A3 3B21 A3 3B2 ⎟ ⎠ 2 Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie ⎞ (1.39)
- Seite 1: Allgemeine Relativitätstheorie —
- Seite 4 und 5: Inhaltsverzeichnis 1.6 Metrik . . .
- Seite 6 und 7: Inhaltsverzeichnis 4.3.4 Ricci-Tens
- Seite 9: Vorwort Die absolute, wahre und mat
- Seite 12 und 13: 4 Mathematische Grundlagen Ein Beis
- Seite 14 und 15: 6 Mathematische Grundlagen s ◦ s
- Seite 16 und 17: 8 Mathematische Grundlagen Abbildun
- Seite 18 und 19: 10 Mathematische Grundlagen Kern un
- Seite 20 und 21: 12 Mathematische Grundlagen 1.4 Zus
- Seite 24 und 25: 16 Mathematische Grundlagen Bemerku
- Seite 26 und 27: 18 Mathematische Grundlagen Zu jede
- Seite 28 und 29: 20 Mathematische Grundlagen 1.5.5 D
- Seite 30 und 31: 22 Mathematische Grundlagen 1.5.8 D
- Seite 32 und 33: 24 Mathematische Grundlagen 1.5.11
- Seite 34 und 35: 26 Mathematische Grundlagen (1,1,1,
- Seite 36 und 37: 28 Mathematische Grundlagen Mit die
- Seite 38 und 39: 30 Mathematische Grundlagen Wir wen
- Seite 40 und 41: 32 Differentialformen sämtliche Te
- Seite 42 und 43: 34 Differentialformen kann. Folglic
- Seite 44 und 45: 36 Differentialformen Eine faktoris
- Seite 46 und 47: 38 Differentialformen 2.1.8 Darstel
- Seite 48 und 49: 40 Differentialformen Um das Hodge-
- Seite 50 und 51: 42 Differentialformen Bemerkung: Si
- Seite 52 und 53: 44 Differentialformen 2.2.7 Eigensc
- Seite 54 und 55: 46 Differentialformen symmetrischen
- Seite 56 und 57: 48 Differentialformen Tangentialrau
- Seite 58 und 59: 50 Differentialformen Abbildung 2.3
- Seite 60 und 61: 52 Differentialformen Abbildung 2.4
- Seite 62 und 63: 54 Differentialformen TpU T ∗ p U
- Seite 64 und 65: 56 Differentialformen 2.4.1 Verallg
- Seite 66 und 67: 58 Differentialformen lässt sich a
- Seite 68 und 69: 60 Differentialformen Die nebensteh
- Seite 70 und 71: 62 Differentialformen von p Variabl
1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 15<br />
1.4.5 Darstellung des Tensorprodukts<br />
Ist {ei} wie gehabt eine Basis von U <strong>und</strong> {f j} eine Basis von V , so erhält man eine Basis des<br />
Produktraums durch Bildung aller möglichen Produkte der Basisvektoren:<br />
{e1 ⊗ f1, e1 ⊗ f2, e1 ⊗ f3,...<br />
e2 ⊗ f1, e2 ⊗ f2, e2 ⊗ f3,...<br />
e3 ⊗ f1, e3 ⊗ f2, e3 ⊗ f3,...<br />
...,}<br />
(1.37)<br />
Als übliche Konvention werden die Basisvektoren dabei lexikographisch geordnet. Wie man<br />
leicht sehen kann, ist dim(U ⊗V ) = dim(U)dim(V ).<br />
In der so konstruierten Darstellung kann das Tensorprodukt von Vektoren auf folgende Weise<br />
gebildet werden. Sei dazu wiederum u = u i ei <strong>und</strong> v = v i fi. Dann ist u ⊗ v = ∑i, j u i v j (ei ⊗ f j), in<br />
der Spaltenvektornotation hat man also beispielsweise<br />
⎛<br />
u<br />
u ⊗ v = ⎝<br />
1<br />
u2 u3 ⎞<br />
�<br />
⎠<br />
v1 ⊗<br />
v2 ⎛<br />
u<br />
⎜<br />
� ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
1v1 u1v2 u2v1 u2v2 u3v1 u3v2 ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(1.38)<br />
Im Gegensatz zur direkten Summe, bei der man die beiden Spaltenvektoren einfach aneinander<br />
hängt, werden Tensorprodukte von Vektoren gemäß der Regel „jeder mit jedem” durch Multiplikation<br />
der Komponenten gebildet. Auch hier ist es üblich, die Komponenten entsprechend ihrer<br />
Mehrfachindices lexikographisch zu ordnen.<br />
Im obigen Beispiel erhält man einen sechskomponentigen Vektor, der aber nur aus fünf unabhängigen<br />
Komponenten gebildet wird. Hier bestätigt sich anschaulich, dass die Produktvektoren<br />
in der Tat nur eine Teilmenge des gesamten sechsdimensionalen Raums darstellen.<br />
Bemerkung: Man beachte, dass bei der Bildung des Tensorprodukts auch die entsprechenden physikalischen<br />
Einheiten miteinander multipliziert werden. Repräsentieren beispielsweise u <strong>und</strong> v Abstände<br />
mit der Einheit einer Länge, so besitzt das Tensorprodukt die Dimension einer Fläche. Mit dem<br />
Tensorprodukt können auch Vektoren mit unterschiedlichen physikalischen Einheiten multipliziert<br />
werden.<br />
Das Tensorprodukt zweier linearer Abbildungen sieht folgendermaßen aus:<br />
A ⊗ B =<br />
=<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎛<br />
A1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A3 2 A3 3<br />
⎞<br />
�<br />
⎠<br />
B1 ⊗ 1 B1 �<br />
2<br />
B 2 1 B2 2<br />
A 1 1 B1 1 A1 1 B1 2 A1 2 B1 1 A1 2 B1 2 A1 3 B1 1 A1 3 B1 2<br />
⎜<br />
A<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1B21 A11 B22 A12 B21 A12 B22 A13 B21 A13 B22 A2 1B11 A21 B12 A22 B11 A22 B12 A2 3B11 A2 3B1 2<br />
A2 1B21 A21 B22 A22 B2 1 A22 B22 A23 B21 A23 B22 A3 1B11 A3 1B12 A3 2B11 A3 2B12 A3 3B11 A3 3B12 A3 1B21 A3 1B22 A3 2B21 A3 2B22 A3 3B21 A3 3B2 ⎟<br />
⎠<br />
2<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
⎞<br />
(1.39)