Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

14 Mathematische Grundlagen
In diesem Aufspann sind die Vektorraumaxiome erfüllt und man kann sich leicht überzeugen,
dass die Dimension dieses Raumes gleich dem Produkt der Einzeldimensionen ist:
dim(U ⊗V ) = dim(U)dim(V ). (1.32)
U und V bezeichnet man als die Tensorkomponenten des Tensorprodukts U ⊗V . Eine anschauliche
Deutung des Tensorprodukts ist schwierig, da der erste nichttriviale Fall R 2 ⊗ R 2 bereits
auf einen vierdimensionalen Raum führt.
Da ein Tensorprodukt auf geordneten Paaren basiert, ist im allgemeinen U ⊗V �= V ⊗U, d.h.
das Tensorprodukt ist nicht kommutativ und die Tensorkomponenten haben somit eine individuelle
voneinander unterscheidbare Identität.
Bemerkung: Sie kennen Tensorprodukte wahrscheinlich bereits aus der Quantentheorie. Für Zen-
tralpotentiale faktorisieren beispielsweise die Eigenfunktionen in ψn(r) in einen Radialanteil u(r)
und eine Kugelflächenfunktion Ylm(θ,φ). Statt |ψn〉 = |u〉 ⊗ |Ylm〉 schreibt man allerdings oft nur
|ψn〉 = |u〉|Ylm〉. In ganz ähnlicher Weise benutzt man für Systeme mit mehreren Spins die Notation
| ↑↑〉 = | ↑〉| ↑〉 statt | ↑〉 ⊗ | ↑〉.
1.4.4 Rechenregeln für Tensorprodukte
Das Tensorprodukt zweier linearer Abbildungen ist dadurch definiert, dass die Einzelabbildungen
auf jeder Tensorkomponente separat wirken, d.h.
(A ⊗ B)(u ⊗ v) = (Au) ⊗ (Bv). (1.33)
Eine lineare Abbildung C : U ⊗V → U ⊗V , die sich in der Form C = A ⊗ B schreiben lässt,
heißt faktorisierbar. Solche Abbildungen wirken auf die beiden Tensorfaktoren separat, ohne
sie miteinander zu mischen oder in Beziehung zu bringen. Das Transponieren bzw. Adjungieren
faktorisierbarer linearer Abbildungen wird in allen Tensorkomponenten einzeln durchgeführt,
d.h.
(A ⊗ B) T = A T ⊗ B T , (A ⊗ B) † = A † ⊗ B † . (1.34)
Bemerkung: Im Gegensatz zu verketteten linearen Abbildungen (Matrixprodukten), bei denen sich
die Reihenfolge der Faktoren unter Transposition gemäß (A1A2) T = AT 2 AT 1 umkehrt, bleibt die Reihenfolge
der Tensorfaktoren erhalten. Bei einer Mischung dieser beiden Produktarten gilt deshalb
z.B.[(A1A2) ⊗ (B1B2B3)] T = (A T 2 AT 1 ) ⊗ (BT 3 BT 2 BT 1 ).
Das Tensorprodukt zweier Skalare λ,µ ∈ C wird formal als Multiplikation in C aufgefasst:
λ ⊗ µ ≡ λ µ . (1.35)
Die Determinante eines Tensorprodukts ist das Produkt der Determinanten der Faktoren:
det(A ⊗ B) = detA detB. (1.36)
Tensorprodukte können ohne weiteres mehrfach durchgeführt werden, z.B. kann ein Hilbertraum
V als dreifaches Tensorprodukt V = V1 ⊗V2 ⊗V3 von Einzelräumen V1,V2,V3 definiert werden.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie