Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 13
Bei der Bildung der direkten Summe werden die Komponenten der Einzelvektoren einfach aneinandergehängt:
⎛
u
u ⊕ v = ⎝
1
u2 u3 ⎞
�
⎠
v1 ⊕
v2 ⎛
u
� ⎜
= ⎜
⎝
1
u2 u3 v1 v2 ⎞
⎟
⎠
(1.26)
Die direkte Summe zweier linearer Abbildungen A : U → U und B : V → V besitzt im Summenraum
eine Matrixdarstellung mit einer Blockdiagonalstruktur:
⎛
A
A ⊕ B = ⎝
1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A3 2 A3 ⎞
�
⎠
B1 ⊕ 1 B
3
1 2
B2 1 B2 ⎛
A
� ⎜
= ⎜
2 ⎝
1 1 A12 A13 0 0
A2 1 A22 A2 3 0 0
A3 1 A3 2 A3 3 0 0
0 0 0 B1 1 B12 0 0 0 B2 1 B2 ⎞
⎟ (1.27)
⎠
2
Hier sieht man sofort, dass nicht jede lineare Abbildung U ⊕V → U ⊕V in die Form A ⊕ B gebracht
werden kann, sondern nur solche Abbildungen, die eine Blockdiagonalstruktur besitzen.
1.4.3 Tensorprodukt ⊗
Die Tensorprodukt U ⊗V (auch äußeres Produkt genannt) wird ebenfalls von der Menge aller
geordneten Paare (u,v) von Vektoren u ∈U und v ∈V erzeugt, jedoch ist die Vektorraumstruktur
hier so implementiert, dass sich eine multiplikative Struktur ergibt. Insbesondere lässt sich das
Tensorprodukt wie ein gewöhnliches Produkt gemäß der Regel
(u1 + u2) ⊗ (v1 + v2) = (u1 ⊗ v1) + (u1 ⊗ v2) + (u2 ⊗ v1) + (u2 ⊗ v2) (1.28)
ausmultiplizieren und ist bei Skalarmultiplikation bilinear in beiden Argumenten:
(λu) ⊗ (µv) = λ µ(u ⊗ v). (1.29)
Anmerkung: Diese Definitionseigenschaften unterscheiden sich erheblich von denen für die direkte
Summe in Gl. (1.20)-(1.21). Bei der direkten Summe wird paarweise, beim Tensorprodukt dagegen
‘jeder mit jedem’ verknüpft, wodurch gemischte Terme entstehen.
Mit dem so definierten Tensorprodukt lässt sich die Menge der Produktvektoren
PUV := {u ⊗ v|u ∈ U,v ∈ V } (1.30)
definieren. Diese Menge bildet allerdings noch keinen Vektorraum, weil sich nicht jede Linearkombination
aus zwei Produktvektoren u1 ⊗v1 und u2 ⊗v2 wiederum als Produktvektor u3 ⊗v3
schreiben lässt. Der Tensorproduktraum U ⊗V ist deshalb als der Aufspann von P definiert, also
der Menge aller möglichen Linearkombinationen von Produktvektoren: 3
U ⊗V := 〈PUV 〉. (1.31)
3 Sowohl die direkte Summe U ⊕V als auch das Tensorprodukt U ⊗V basieren auf geordneten Paaren von Vektoren
aus U und V . Neben der unterschiedlichen Additionsregel besteht ein wesentlicher Unterschied darin, dass die
geordneten Paare bereits den gesamten Summenraum umfassen, während sie im Tensorproduktraum nur eine
spezielle Teilmenge (die der Produktvektoren) darstellen und der gesamte Vektorraum erst unter Hinzunahme
aller Linearkombinationen aufspannt wird.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie