Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

12 Mathematische Grundlagen
1.4 Zusammengesetzte Vektorräume
Zwei Vektorräume U und V über dem gleichen Skalarkörper K lassen sich auf unterschiedliche
Weise zu einem neuen Vektorraum kombinieren. Dabei ist es wichtig, den Unterschied zwischen
einer direkten Summe und einem Tensorprodukt zu verstehen. Darüber hinaus gibt es verschiedene
Varianten von Tensorprodukten mit unterschiedlichen Symmetrieeigenschaften.
1.4.1 Direkte Summe ⊕
Die direkte Summe U ⊕V (auch äußere direkte Summe genannt) ist die Menge aller geordneten
Paare (u,v) von Vektoren u ∈ U und v ∈ V , ausgestattet mit der Addition (u1,v1) + (u2,v2) =
(u1 + u2,v1 + v2) bzw. 2
(u1 ⊕ v1) + (u2 ⊕ v2) = (u1 + u2) ⊕ (v1 + v2) (1.20)
und der Skalarmultiplikation λ(u,v) = (λu,λv) bzw.
λ(u ⊕ v) = (λu) ⊕ (λv). (1.21)
Man kann leicht überprüfen, dass die so definierte direkte Summe ebenfalls ein Vektorraum ist.
Die Dimension des Summenraums ist dabei die Summe der Einzeldimensionen:
dim(U ⊕V ) = dim(U) + dim(V ). (1.22)
Wenn A : U → U und B : V → V lineare Abbildungen sind, dann ist auf U ⊕ V eine lineare
Abbildung A ⊕ B durch
(A ⊕ B)(u ⊕ v) = (Au) ⊕ (Bv) (1.23)
erklärt. Die Bildung der direkten Summe ist anschaulich leicht vorstellbar, z.B. ist der R 3 die
direkte Summe aus R 2 (z.B. xy-Ebene) und R (z-Achse).
1.4.2 Darstellung direkter Summen
Ist {ei} eine Basis von U und {f j} eine Basis von V , so sind die kanonischen Basisvektoren des
Summenraums U ⊕ V durch Kombination der Basisvektoren des einen Summanden mit dem
neutralen Element des jeweils anderen Summanden gegeben, d.h.
{(e1,0), (e2,0),..., (0,f1), (0,f2), ,...} (1.24)
wobei ’0’ die jeweiligen Nullvektoren bezeichnet.Mit dieser Konstruktion bestätigt sich, dass
sich bei der Bildung der direkten Summe die Dimensionen der Einzelräume addieren.
Seien nun u ∈ U und v ∈ V über diesen Basen dargestellt, d.h. u = uiei und v = vifi. Üblicherweise
werden die Komponenten von Vektoren als Spaltenvektoren notiert, z.B.
⎛
u
u = ⎝
1
u2 u3 ⎞
�
⎠,
v1 v =
v2 �
. (1.25)
2 Formal ist die direkte Summe U ⊕V einem kartesischem Produkt U ×V ähnlich, geht aber insofern darüber hinaus,
als dass sie die Vektorräume nicht nur nebeneinander stellt, sondern zu einem neuen Vektorraum kombiniert.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie